tmax07
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 | | Sujet: inégalité a faire Ven 18 Oct 2013, 03:08 | |
| montrer que quelque soi n dans N
(2n² + 3n + 1)ⁿ ≥ 6ⁿ∙(n!)²
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nmo
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| | Sujet: Re: inégalité a faire Ven 18 Oct 2013, 15:18 | |
| - tmax07 a écrit:
- montrer que quelque soi n dans N
(2n² + 3n + 1)ⁿ ≥ 6ⁿ∙(n!)²
Je propose une solution: Il suffit de remarquer que  : 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}) . En utilisant l'inégalité arithmético-géométrique, on aura:  : \frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n}\ge\Bigg(1^2\times2^2\times\cdots\times n^2\Bigg)^{\frac{1}{n}}) . Soit  : \frac{(n+1)(2n+1)}{6}\ge\Bigg((n!)^2\Bigg)^{\frac{1}{n}}) . Ou encore:  : \frac{(2n^2+3n+1)^n}{6^n}\ge(n!)^2) . Et finalement:  : (2n^2+3n+1)^n\ge6^n.(n!)^2) . Le résultat est encore valable pour n=0, donc  : (2n^2+3n+1)^n\ge6^n.(n!)^2) . CQFD. Sauf erreurs. | |
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tmax07
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| | Sujet: Re: inégalité a faire Ven 18 Oct 2013, 17:01 | |
| merci frere ,jolie demonstration | |
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| | Sujet: Re: inégalité a faire | |
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