Quoi faire ?

x,y,z,t des nombres reels > 0 ;
montrer que:
1 <= x/(x + y +z) + y/(y + x +z) + z/(z + t + x) + t/(t + x + y) <= 2

BSR l'Ami  ...
Il y a des erreurs dans le terme médian de la double- inegalité
( 2ème et dernier facteur ).
Sinon c'est un probleme classique d'Olympiades . Jettes un coup d'oeil dans le forum
" olympiades " ..   Tu y trouveras sûrement la solution .
Amicalement . LHASSANE

esq c est meiux mtn et u je peux trouver la solution peux tu me passer le lien stp

d'abord, les dénominateurs des termes seraient différents deux à deux, et une proposition sous réserve qu'elle soit correcte serait :
1 <= x/(x +y +z) + y/(y +z +t) + z/(z +t +x) + t/(t +x +y) <= 2.
bonsoir

Bonjour ;

Je suppose la proposition de nail correcte .

Pour l'inégalité de gauche, on a :

x/(x + y + z) >= x/(x + y + z + t) ;
y/(y + z + t ) >= y/(x + y + z + t) ;
z/(z + x + t ) >= z/(x + y + z + t) ;
t/(t + x + y ) >= x/(x + y + z + t) ;

donc :

x/(x + y + z) + y/(y + z + t) + z/(z + t + x) + t/(t + x + y) >= (x + y + z + t)/(x + y + z + t) = 1 .



Pour l'inégalité de droite, on a :

x/(x + y + z) =< x(x + z) et z/(z + t + x) =< z(z + x) ;
donc : x/(x + y + z) + z/(z + t + x) =< (x + z)/(x + ) = 1 .

De même, on a :
y/(y + z + t) =< y/(y + t) et t/(t + x + y) =< t/(t + y) ;
donc : y/(y + z + t) + t/(t + x + y) =< (y + t)/(y + t) = 1 .

On a donc : x/(x + y + z) + y/(y + z + t) + z/(z + t + x) + t/(t + x + y) =< 1 + 1 = 2 .

aymanemaysae a écrit:

Bonjour ;
[...]:

x/(x + y + z) [...]< x(x + z) et z/(z + t + x) [...]< z[/](z + x) ;
donc : x/(x + y + z) + z/(z + t + x) [...]< (x + z)/(x +[z]) = 1 .

De même, on a :
y/(y + z + t) [...]< y/(y + t) et t/(t + x + y) [..]< t/(t + y) ;
donc : y/(y + z + t) + t/(t + x + y) [...]< (y + t)/(y + t) = 1
[...]
< 1 +1 =2 [...]

et même si deux au plus des quatre nombres sont supposés supérieurs ou égaux à 0, l'inégalité totale reste stricte.
تبارك الله!