problem

montrer qu'il exsistent deux entiers x et y tel que:
2^n=7x²+y² pr ts n entier n>=3 et x,y impaires

n=5
32=7x²+9y²
y>=2 implique 9y²+7x²>32 contradiction
y=0 implique 7 divise 32 contradiction
donc y=1 mais 32-9=7y²=23 contradiction.
Donc il y'a une erreur dans ton enoncé.
Bon pour n=0mod2 il est clair de prendre x=y=2^n-4/2
On a gcd(x,3)=1donc x²=1mod3 d'ou 7x²+9y²=1mod3
si n est impair alors 2^n=-1mod3 contradiction donc n est pair.
n est pair alors x=y=2^n-4/2.

beautiful mind a écrit:

n=5
32=7x²+9y²
y>=2 implique 9y²+7x²>32 contradiction
y=0 implique 7 divise 32 contradiction
donc y=1 mais 32-9=7y²=23 contradiction.
Donc il y'a une erreur dans ton enoncé.
Bon pour n=0mod2 il est clair de prendre x=y=2^n-4/2
On a gcd(x,3)=1donc x²=1mod3 d'ou 7x²+9y²=1mod3
si n est impair alors 2^n=-1mod3 contradiction donc n est pair.
n est pair alors x=y=2^n-4/2.

jé réctifié merci !!

si n est pair alors il suffit de prendre :

y=3x=3.2^{n-4/2} => 9x^2+7x^2=2^4.x^2=2^n

si n est impair il suffit de prendre :

x=y=2^{n-3/2} => 8x^2=2^n

salam

je pense aux congruences mod 8

n >= 3 =====> y² - x² /// 0 ( 8 )

donc (y+x) et (y-x) sont des diviseurs de 0 (mod 8 )

le système

y+x = a (a un diviseur donné de 8 )
y-x = b ( b .................................)

admet en principe toujours une solution ......?!

je ferai les détails .

.

oH LOll dsl encore x,y doivent etre impaires

Olympiades Bulgares 1996.