Je ne fais pas de dessin ici, mais je vous conseille dans faire un pour suivre plus facilement.
Dans le triangle BPQ, M est le milieu du côté [PQ] et K est le milieu du côté [PB]. Donc la droite MK est parallèle à la droite BQ=AQ. Donc les angles alternes internes AQM et KMQ sont de même amplitude.
De plus, comme la droite PQ est tangente en M au cercle circonscrit au triangle KLM, l'angle KMQ a la même amplitude que l'angle KLM.
Par transitivité de l'égalité, les angles AQM=AQP et KLM sont donc de même amplitude.
De façon analogue, on prouve que les angles APQ et LKM sont de même amplitude.
Au total, les triangles AQP et MLK sont semblables. Mais alors |AP|/|AQ|=|MK|/|ML|.
Or, en revenant au triangle BPQ, on a aussi |MK|=|QB|/2.
De façon analogue, on a aussi |ML|=|PC|/2.
En combinant toutes ces égalités, on obtient facilement |AP|/|AQ|=|QB|/|PC|, puis |PA|*|PC|=|QB|*|QA|. Cette dernière égalité signifie que les points P et Q ont la même puissance par rapport au cercle circonscrit au triangle ABC. Ceci implique que |OP|=|OQ|, puisque O est le centre de ce cercle.
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