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 problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)

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samir
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MessageSujet: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Lun 09 Oct 2006, 16:19


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Lun 09 Oct 2006, 16:20

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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pco
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Mar 10 Oct 2006, 08:15

Bonjour,

Solution - partielle - postée
partielle parceque j'en ai trouvé une infinité, mais probablement pas toutes.

voici la solution de PCO
Bonjour Samir,

Je suis surpris de ce problème qui me paraît insoluble : je ne pense pas
qu'on puisse trouver toutes les solutions. Il y en a une infinité, avec des
formes très différentes.

En voici quelques unes :

Problème : f de R dans R telle que f(f(f(f(x)))) = f(f(f(x))) + 2x pour tout
x de R.

1) deux solutions triviales :
On cherche des solutions de type f(x) = ax et il faut alors que a vérifie
a^4 = a^3 + 2
Soit deux solutions triviales :
f(x) = -x
f(x) = k*x avec k = (2 + (17+3racine(33))^(1/3) +
(17-3racine(33))^(1/3))/3 = 1,54368901...

2) combinaisons élémentaires des deux solutions triviales :
Soit A sous-ensemble de R+*
Soit B = {x*y*k^z, pour x dans {-1,+1}, y dans A et z dans Z, avec k
defini ci-dessus}
Alors la fonction f(x) définie ci-dessous est une solution au problème :
f(x) = (k+1)x*i_B(x) - x avec i_B(x) = fonction caractéristique de B

3) combinaisons plus complexes :
Soit la suite x_n définie ainsi :
x3 > x2 > x1 > x0 > 0
x_(n+4) = x_(n+3) + 2*x_n pour tout n >= 0
Soit g(x) quelconque continue croissante définie sur [x0,x4[ et telle que :
g(x0) = x1, g(x1) = x2, g(x2) = x3, g(x3) = x4
On définit alors g(x) de proche en proche sur [x_(n+4), x_(n+5)[ pour n >=0
par :
u parcourt [x_n, x_(n+1)[
v = g(g(g(u))) parcourt alors [x_(n+3),x_(n+4)[
g(v) parcourt [x_(n+4), x_(n+5)[
g (g(v)) = g(v) + 2u
g(x) est alors définie sur [x0, +oo[

Soit x'3 > x'2 > x'1 > x0 et g' une autre fonction définie sur [x0, +oo[ de
la même manière.

Alors la fonction f(x) définie ci-dessous est une solution au problème :
pour x dans ]-oo, -x0] f(x) = -g'(-x)
pour x dans ]-x0, x0[ f(x) = -x
pour x dans [x0, +oo[ f(x) = g(x)

4) .... Il y a certainement plein d'autres solutions, au-delà de l'infinité
donnée ci-dessus.


PCO
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forzaitalia2
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Mar 10 Oct 2006, 11:15

Bonjour à tous,
le problème de la semaine ne s'affiche pas sur mon écran, je vois un message vide !
Faut-il un plugin spécial ?
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n°28
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Mar 10 Oct 2006, 11:28

forzaitalia2 a écrit:
Bonjour à tous,
le problème de la semaine ne s'affiche pas sur mon écran, je vois un message vide !
Faut-il un plugin spécial ?

nan c bizzare , c juste une image hebergé sur imageshack.us

voila le probleme :

Trouver toutes les applications de IR--->IR telles que :

pour tout x appartenant a IR :

(fofofof)(x) = (fofof)(x) + 2x

Basketball
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Pilotemig29
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MessageSujet: Solution postée par / PILOTEMIG29   Mar 10 Oct 2006, 23:50

réponse supprimée par l'administration
tu dois envoyée votre réponse par E-mail
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Pilotemig29
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MessageSujet: Solution postée PAr [b]PiloteMig29[/b]   Ven 13 Oct 2006, 01:29

Slt; Dsl Moi.
MErci.

Solution Postée.
voici la solution de Pilotemig29
on f0f0f0f = f0f0f + 2x
c a d , f0f0f0f - f0f = 2x

donc quel que soit x de R : f0f - f = 2x
Supposons f une bijection de R sur R.
donc : x - 2x = f
d'ou ; f = -x

PAR : Pilotemig29
Merci.
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aissa
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MessageSujet: solution postée (pr N° 50)   Dim 15 Oct 2006, 09:53

salut tout le monde
mon intuition ma dit que la seule solution du problème est :
f(x) = - x !!! mais il faux le prouver!!!
aissa
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Kendor
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MessageSujet: Problème de la semaine n°50   Dim 15 Oct 2006, 16:54

f(x)=-x ne marche pas.
Mais quand je vois comment résoudre la simple équation f^2(x)=2x (f^2 étant l'itérée de f),je me dis qu'il doit y avoir une infinité de solutions de types différents.Alors je renonce.
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ephemere
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Dim 15 Oct 2006, 18:15

Kendor a écrit:
f(x)=-x ne marche pas.
Si si ! Wink

Mais vous devriez arrêter de commenter publiquement le problème avant la fin de la semaine et l'affichage des résultats car cela fausse le jeu.

Bonne soirée.
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Dim 15 Oct 2006, 19:05

Abdelbaki.attioui a écrit:

Bonjour
j'ai montré que f est injective et f(0)=0
Je me demande s'il manquait une hypothèse par exemple la continuité?
A+

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ephemere
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Dim 15 Oct 2006, 19:42

C'est quoi la solution officiellement donnée par celui qui a posé la question, finalement ?
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khamaths
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Dim 15 Oct 2006, 22:22

Bonsoir
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonsoir

on peut facilement montrer que f est injective donc f^3 l'est aussi ==> f(0) =0
==> pr tt x€ IR* f(x) non nulle
on a aussi que f est surjective donc bijective de R vers R
l équation s'écrit aussi :
[f^4(x)-f^4(0)]/x-[f^3(x)-f^3(0)]/x =2
donc f^4 et f^3 sont dérivables en 0 et on a: f^4 '(0) -f^3 '(0) =2
puisque f est bijective alors f est aussi dérivable en 0 et le nombre dérivé f '(0) vérifie l'équation: t^4-t^3-2=0
donc: f '(0)= -1 ou f '(0)= a / a€[1;2]
donc au voisinage de 0 : f(x)= -x ou f(x)= ax
il reste à démontrer si ces deux solutions sont uniques...?
à suivre....
sauf erreurs.....
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Sinchy
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Lun 16 Oct 2006, 00:43

slt
moi j ai fais 2 chose
pr qqe x apartient a R+
g montrer que f(x)=-x
car fof-2x=f --> f(x) =-x si f est bijective
x appartient a R - ---> -x appartient a R+
dnc f(-X)=x dapres * dnc f(x)+f(-x)=0
c a d f(-x)=-f(-x)----> dnc f(x)=-x
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Kendor
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Lun 16 Oct 2006, 09:29

ephemere a écrit:
Kendor a écrit:
f(x)=-x ne marche pas.
Si si ! Wink

Mais vous devriez arrêter de commenter publiquement le problème avant la fin de la semaine et l'affichage des résultats car cela fausse le jeu.

Bonne soirée.

Effectivement,c'était "f^4=f^3+2Id" et non pas "f^4=f^2+2Id".Je me suis trompé.
Je ne commenterai plus.Désolé.
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pco
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Lun 16 Oct 2006, 10:21

Bonjour Cherif119

cherif119 a écrit:
g montrer que f(x)=-x
car fof-2x=f --> f(x) =-x si f est bijective
x appartient a R - ---> -x appartient a R+
dnc f(-X)=x dapres * dnc f(x)+f(-x)=0
c a d f(-x)=-f(-x)----> dnc f(x)=-x

Je suis désolé, mais il y a erreur ici :

1) d'une part fofofof = fofof + 2Id n'implique absolument pas fof = f + 2Id
Eventuellement (avec des hypothèses d'inversibilité) cela peut impliquer fof = f 2 f^[-1]of^[-1]

2) ensuite, fof = f + 2Id n'implique pas non plus, même si f est inversible, f = -Id.
Cela implique au mieux f = Id + 2f^[-1]

En fait, je pense que tu fais deux fois la même erreur.

--
Patrick
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Kendor
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MessageSujet: Problème de la semaine n°50   Lun 16 Oct 2006, 15:14

J'espère au moins que celui qui a posé la question a une solution à nous fournir!!!Je salive d'avance.
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   Lun 16 Oct 2006, 16:17

ephemere a écrit:
C'est quoi la solution officiellement donnée par celui qui a posé la question, finalement ?
Kendor a écrit:
J'espère au moins que celui qui a posé la question a une solution à nous fournir!!!Je salive d'avance.
je n'ai pas de solution officielle .et ce problème sera aussi le problème de la semaine N°51.(c'est une proposition de abdelbaki.attioui)

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MessageSujet: Re: problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)   

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