version simple du th de Brower

Bonjour,
Soit B la boule unité fermée de IR^n ( n>=1) muni d'une norme quelconque. f :B---->B une fonction 1-lipschitzienne. Montrer que f admet un point fixe.

Bonjour,
Pour tout n entier >0, considérer f_n(x)=(1-1/n)f(x)+1/n f(0)

AA+

Pour autant que je crois voir, on peut remplacer "boule unité de R^n" par K=compact d'un evn, non ?


Soit donc f_n(x)=(1-1/n)f(x)+1/n f(x0) avec x0 un point fixé de K

f_n est donc (1-1/n)-lipschitzienne. Là on est en terrain connu : on prend les itérés de f_n et on montre que f_n admet un point fixe unique (classique), en utilisant le fait que K est compact donc complet.

On a donc une suite x_n dans un compact (les points fixes des f_n), on en prend une suite extraite, qu'on appelle encore x_n par paresse, qui converge dans K vers x

|f(x)-x| <= |f(x) - f(x_n)| + |f(x_n) - x_n| + | x_n - x |

Le 2ème terme est nul et le troisième -> 0 par construction.

|f(x) - f(x_n)| <= 1/n |f(x)| + 1/n |f(x0)| <= M/n avec M = sup|f(x)| (< +oo car f C° sur un compact)

Fini f(x) = x

Bonsoir, oui on peut prendre un compact mais il faut qu'il soit convexe pour que la suite f_n soit bien définie de K dan K

AA+