Un anneau sans element nilpotent

Salam o alikom

Soit A un anneau sans element nilpotent autre que 0

Soit a un element idempotent de A (a²=a)

Montrer que a commute avec tous les elements de A

A+

Bonsoir :

question importante

j'attends lan réactions des élèves

Up

Salam o alikom avant tout

Bon je vois que personne n'a repondu je donne ma solution :

Voila je pose x=ab-ba

Montrons que x=0

on a ax=ab -aba et xa=aba-ba par addition: ax+xa=x

mais ax+xa=x implique ax=ax+axa ===> axa=0 ===> (xa)²=0 ==>xa=0
de meme (axa)=0 implique (ax)²=0 d'ou ax=0

conclusion ax+xa=0 donc x=0

A+