Grand Jeu d'Hiver 2009-2010.(préparation à l'imo 2010.)

De vue, je pense que c'est faisable en utilisant C.S et Am-Gm, ta réponse peux être vraie mais je vois qu'elle est très longue. Il y a mieux à faire...

oui Cauchy c la meilleur methode.

Oui je vois ça , mais je prefere toujours de prouvé les inégo sans utiliser aucune theorème autant ke possible
mais c'est pas tréés trés long :d

slt redwan !!

juste une remarque:

si tu fais ces substitutions alors pour la dérivée il faut clarifier les variables car on parle ici de fonctions de forme f(t,t',t")...

slt hamza !

non y a pas de t" . j'ai fixé le t' et j'ai considéré t comme un variable et quand j'ai trouvé que f(t)>=f(1) il suffit alors de prouvé ke f(1) ( ki est en fonction de t' ) est positif , c tt

j'espere ke c'est clair mnt

voila l'exo que je propose :

maximiser : (a+b)^4+(b+c)^4+(c+d)^4+(d+a)^4 (en donnant le cas d'egalité)

tel que a²+b²+c²+d²=<1

Bonne chance

xdd !! la mienne est faut alors mdrrrrr !!

voici un autre jolie probleme en attendant une solution pour le precedant :

quel est la valeur de k et des reels x1 , x2, ....xk tel que leurs somme egal à 100 et leur produit est maximal.

Tu dois normalement poster la solution du premier vu que tu n'as pas eu de réponses pendant plus de 24H.

Voici une solution mais je suis pas très sur :

On a par caushy - shwartz 2 fois :

(a+b)^4+(b+c)^4+(c+d)^4+(d+a)^4 =<4((a²+b²)²+(b²+c²)²+(c²+d²)²+(d²+a²)²) =< 16(a^4+b^4+c^4+d^4)

maintenant je vais montrer par réccurence l'inégalité suivante :

a^n+b^n+c^n+d^n =< (1/2)^n*4

avec : a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2}+d^{n-2} =< (1/2)^{n-2}*4

Pour n=0 , 4=<4 juste

supposons que c'est vrai pour n

a^n+b^n+c^n+d^n =< (1/2)^n*4

et montrons que c'est vrai pour n-1 :

a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}+d^{n-1} =< (1/2)^{n-1}*4

On a par caushy-shwartz :

( a^n+b^n+c^n+d^n ) ( a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2}+d^{n-2}) => (a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}+d^{n-1})^2


<==> a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}+d^{n-1} =< (1/2)^{n-1}*4

donc : pour n=4


a^4+b^4+c^4+d^4<= 1/4

d'où LHS <= 4

alors le max c'est 4 quand a=b=c=d=1/2

Il suffit de remarquer que :



Donc le max est 4 et atteint lorsque a=b=c=d=1/2

Abdek_M a écrit:

Il suffit de remarquer que :



Donc le max est 4 et atteint lorsque a=b=c=d=1/2

l'idee est parfaite , reste à reviser le calcul tu aura :

sum(a+b)^4+sum(a-b)^4=6(a²+b²+c²+d²)²

Salut memath !! je crois que le produit ne peut pas avoir une valeur maximal si lé réels Xk ne sont pas tous positif. Car si k possède une valeur on va la nommé p alors le produit X_1.x_2....x_p n'a pas de valeur maximal juste prend X_1=X_2=...=X{p-1}=A et X_p=100-(p-1)A et A--> - l'infini si p est impair et la meme choz pour p est pair

j'ai pas precisé s'ils sont negatifs ou positifs , le but de l exo est de les chercher ; il faut determiner les x_i numeriquement ainsi que l'entier positif k.

Le produit admet une valeur maximal si et seulement si Tous les
Xi sont positifs.Sinon le contre exemple de Abdek suffira.
Le produit est maximal si et seulement si (100/^k)^k
est maximal. L'étude de la fonction vous permetde conclure que
k=37 et les Xk sont égaux à valeurs (100/37).

beautiful mind a écrit:

Le produit admet une valeur maximal si et seulement si Tous les
Xi sont positifs.Sinon le contre exemple de Abdek suffira.
Le produit est maximal si et seulement si (100/^k)^k
est maximal. L'étude de la fonction vous permetde conclure que
k=37 et les Xk sont égaux à valeurs (100/37).

l'equivalence que t'as utilisé necessite une justification.

De quelle équivalence tu parles? il y'en a deux!
La première elle est clair,
La deuxième AM-GM et l'étude de fct vous donne le résultat immédiatement. pour l'équivalence k=37 donne la valeur max (100/37)^37
et il y'a égalité pour lesXk=100/37

tu dois justifier le fait que les x_i sont egaux , c'est la demarche principale dans la resolution du probleme.

AM-GM donne LHS=RHS si et seulement si les Xi sont égaux! pas besoin de detailler! En fait voila pourquoi, Produit(Xk)<=(100/k)^k .

beautiful mind a écrit:

AM-GM donne LHS=RHS si et seulement si les Xi sont égaux! pas besoin de detailler! En fait voila pourquoi, Produit(Xk)<=(100/k)^k .

c faux dsl

donc la valeut de K n'est pas juste! T'es pas bourré par hasard!

la valeur de k est bien 37 et c'etait previsible puisque l'expression est symetrique et son maximum a lieu au centre , reste la justification.am-gm ne justifie rien , reli l'enoncé ...
si j'ai l'air bourré dans cet etat je dois etre un evariste galois quand je ne l suis pas .... n'importe koi , surveille ton language ptit gars

c sur que t'es bourré par hasard!
relie bien ton enoncé!
Je ne crois pas que 37 soit prévisible car c'est la partie entière de [100/e]+1, et donc tu crois que AM-GM te prouvera cette valeur.
Sinon on espere que memath se réveillera de son sommeil!

en attendant une reponse correct je propose un autre exo :

trouver tous les entiers strictement positifs x et y tel que :

x+y²+z^3=xyz et z=pgcd(x,y)



Ps: ici on ne poste que la solution , qui doit de preference etre correct !!
vos approches sont les bienvenus sauf qu'ils doivent etre signalé comme etant que des approches , merci.