Une récurrence pour un résultat surprenant ....

BSR à Toutes et Tous !!

Je vous propose , à titre de détente , cet exercice sympa ....

Etant donné n entier naturel non nul .
On pose :
Sn=SOMME {(i1.i2.... ik) ; 1<=k<=n et 1<=i1<i2<...<ik<=n }

1) Que représente en fait Sn lorsque n est fixé ???
2) Etablir une relation de récurrence très simple entre S(n) et S(n-1) lorsque n>=2 .
3) Donner alors une expression de Sn en fonction de n seul .

LHASSANE

S2 = i1 + (i1+i2)
S3 = i1 + (i1+i2) + (i1+i2 +i3)

S3 - S2 = sigma(de 1 à 3) ik
...
...
Sn - Sn-1 = sigma(de 1 à n) ik


la somme :

Sn = n i1 + (n-1)i2 + .... + 2 i(n-1) + in .

c tout ce qu'on peut dire de Sn , car on ne sait pas les valeurs des ik .

BJR {}{}=l'infini !!

C'est juste pour t'expliquer un peu ce que représente Sn .....
Voilà , on considère n entier >=1 et En={1,2,........,n}

Sn représente en fait :

La SOMME des PRODUITS des éléments des différentes parties NON VIDES de En .

Par exemple E1={1} alors S1=1
Autre exemple pour n=3 E3={1,2,3}
Les parties non vides de E3 sont {1};{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} et enfin {1,2,3}
donc S3=1+2+3+2+3+6+6=23 .

Tu vois maintenant comment est fabriqué Sn ......

LHASSANE

Bonsoir Mr LHASSANE

En développement le produit (1+1)(1+2)...(1+n) on voit que (1+1)(1+2)...(1+n) = 1 + Sn

d'où : Sn = (n+1)! - 1 sauf erreur bien entendu

BSR Mr Elhor !!

C'est tout à fait exact ....
J'aimerais bien sûr qu'au moins des 1BACSM réfléchissent à la récurrence Sn=(n+1)S(n-1)+n ; c'est tellement formateur pour eux du point de vue raisonnement !!

Bonne Année Hégirienne à Vous & Votre Famille !!

LHASSANE