kholle

Prouver que si f:[0,+00[-->[0,+00[ continue vérifiant f((x+y)/2)>=1/2*(f(x)+f(y)),alors f est uniformément continue.

Have fun

Il est bien connu que l'hypothèse ==> f concave
Alors x --> f(x)/x est décroissante sur ]0,+00[.
(car f(x)/x= (f(x)-f(0))/x + f(0)/x somme de deux fonctions décroissantes, f(0)>=0 )
Donc la limite suivante existe:
lim(x-->+00) f(x)/x=inf {f(x)/x /x>0}=a>=0
Soit eps>0, il existe A>0: f(A)/A <a+eps.
Sur [0,A] , f est uniformément continue, il existe eta>0 :
x,y€[0,A] et |x-y|<eta ==> |f(x)-f(y)|<eps
Soient x>y>=0 et |x-y|<mu=inf(eta,eps/(a+eps)) alors:
si x,y€[0,A]
==> |f(x)-f(y)|<eps
si A=<y<x
==> f(x)/x=<f(y)/y ==> 0=<f(x)/x=<(f(x)-f(y))/(x-y)=<f(y)/y
==> |f(x)-f(y)|=f(x)-f(y)=<(x-y)f(A)/A <eps
si y=<A<x
==> |f(A)-f(y)|<eps , f(x)/x=<f(A)/A
==> |f(x)-f(A)|=f(x)-f(A)=<(x-A)f(A)/A<eps.
==> |f(x)-f(y)|=<2eps
D'où le résultat

super!