Fonctions indefiniment derivables

Bonsoir à tous :
J'ai un problème qui me semble un peu difficile à resoudre :
Quelle est la classe des fonctions $ f $ indéfiniment dérivables qui verifie la propriété suivante :
$ \forall a_1 , ... , a_n \in \mathbb{R} \ \exists c \in \mathbb{R} $ :
$ f(a_1 x) + ... + f(a_n x) = f(c x) $.
Merci d'avance !

Oh :O je vois que ça demande une longue reponse et en plus je crois pas que ça au niveau des taupins ...

Bonjour ;

Le n est fixé ?

non ! $ n $ peut être n'importe quel entier naturel !

En fait une petite récurrence montre que n=2 suffit ! L'exercice devient alors :

<< Quelles sont les f : IR --> IR indéfiniment dérivables vérifiant : pour tous réels a et b il existe un réel c tel que pour tout réel x on ait f(ax) + f(bx) = f(cx) >>

je donnerai une réponse partielle dans le cas où les dérivées succéssives de f en 0 ne sont pas toutes nulles sauf erreur bien entendu

Soit f une solution dont les dérivées successives en 0 ne sont pas toutes nulles

et soit p le plus petit entier naturel non nul tel que f^(p)(0) # 0

en dérivant p fois la relation f(ax) + f(bx) = f(cx) on a a^p.f^(p)(ax) + b^p.f^(p)(bx) = c^p.f^(p)(cx) qui , pour x = 0 , donne a^p + b^p = c^p

donc en particulier pour a = - b = 1 on a l'existence d'un réel c tel que f(x) + f(-x) = f(cx) avec c^p = 1 + (-1)^p

ce qui montre clairement que f à la parité de p ( remarquer que f(0) = 0 )

en faisant x = 1 , dans la relation en bleu foncé , on voit que pour tous réels positifs a et b on a f ( (a^p + b^p)^(1/p) ) = f(a) + f(b)

qui s'écrit aussi fog (a^p + b^p) = fog (a^p) + fog (b^p) où g est la fonction racine p-ième

et alors la fonction (continue) fog qui vérifie l'équation de Cauchy sur IR+ est linéaire

on concut alors facilement que f est un monôme de degré p et la condition est bien suffisante sauf erreur bien entendu