equat fct

Bonjour ,
existe t il des fcts definies de R{0,-1}-->R verifiants :

crée par moi ,

selfrespect a écrit:

Bonjour ,
existe t il des fcts definies de R{0,-1}-->R verifiants :

crée par moi ,

Bonjour Selfrespect.

Je pense que le problème n'est pas parfaitement posé : il faut dire dans quel domaine l'équation doit être vérifiée.

Si ce domaine est le même que celui pour lequel f(x) est définie (R-{0,-1}), alors il n'y a pas de telle fonction : il suffit de prendre x=1 pour se rendre compte que l'équation ne peut être vérifiée puisque f(0) n'est alors pas définie.

En revanche, je pense qu'il existe des fonctions f(x) définies sur R entier telles que f(1-1/x)+f(-1/(x+1))=e^x pour tout x de R-{0,-1}

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Patrick

pco a écrit:

selfrespect a écrit:

Bonjour ,
existe t il des fcts definies de R{0,-1}-->R verifiants :

crée par moi ,

Bonjour Selfrespect.

Je pense que le problème n'est pas parfaitement posé : il faut dire dans quel domaine l'équation doit être vérifiée.

Si ce domaine est le même que celui pour lequel f(x) est définie (R-{0,-1}), alors il n'y a pas de telle fonction : il suffit de prendre x=1 pour se rendre compte que l'équation ne peut être vérifiée puisque f(0) n'est alors pas définie.

En revanche, je pense qu'il existe des fonctions f(x) définies sur R entier telles que f(1-1/x)+f(-1/(x+1))=e^x pour tout x de R-{0,-1}

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Patrick

Bonjour Mr pco je vois ce nest point facil ;de creer un exo .
ben voila un autre :
*Determinet tt les application continue et bijective de [0,1] dans [0,1]
tel que f(2x-f(x))=x
* determiner tt les fcts f,R-->R derivables en 0 verifiants
f(2x)=2f(x)/[f²(x)+1] ( )

Je m'intéresse au problème f(2x-f(x))=x, avec f bijection continue de [0,1] dans [0,1]

Remarquons d'abord que f(2x-f(x))=x <=> f^(-1)(x)+f(x)=2x.

Soit a quelconque de [0,1].
Alors, en faisant x=f(a) dans l'équation f^(-1)(x)+f(x)=2x, on obtient f(f(a))+f^(-1)(f(a))=2f(a) et donc f(f(a))=2f(a)-a

Puis, en faisant x=f(f(a)) dans la même équation, on a f(f(f(a)))=2f(f(a))-f(a)=3f(a)-2a

On a très vite par récurrence f^(n)(a)=a + n(f(a)-a)

Dès lors, s'il existe un a tel que f(a) soit différent de a, il existe nécessairement un n assez grand tel que f^(n)(a) devient > 1(si f(a)>a) ou <0 (si f(a)<a), ce qui contredit le fait que f(a), donc f^n(a) est de [0,1] dans [0,1].

Donc f(a)=a pour tout a

et la seule solution est f(x)=x

très joli problème.
Merci et bravo Selfrespect.

Bravo Mr pco
je trouve l idee de remarquer x=(f(x)+f-1(x))/2 puis construire une telle suite pour aboutir a une contradiction tres original
felecitation


(cette equa nest pas de ma creation elle est deja cree )

Je m'interesse au problème : "determiner tt les fcts f,R-->R derivables en 0 verifiant f(2x)=2f(x)/[f²(x)+1]"

On a tout de suite |f(x)|<= 1 et f(0)=-1,0 ou +1.

Cas 1 : Il existe a tel que f(a)=1.
Alors f(a/2)=1 et f(a/2^n)=1. Donc, par continuité en 0, f(0)=1.
Si alors il existe b tel que f(b) différent de 1, on a |f(b/2)|<|f(b)|<1 et de même |f(b/2^n)|<|f(b/2^(n-1))|<1. La suite |f(b/2^n)| est donc une suite positive strictement décroissante qui admet une limite différente de 1, ce qui contredit f(0)=1.
Donc, dans le cas 1, on a f(x)=1 pour tout x

Cas 2 : Il existe a tel que f(a)=-1.
Par le même raisonnement que ci-dessus, on aboutit à f(x)=-1.

Cas 3: |f(x)|<1 pour tout x
En appliquant le raisonnement ci dessus, on a |f(0)|<1 et donc f(0)=0

Cas 3.1 : il n'y pas de f(x) non nul : Alord f(x)=0 est solution.*
Cas 3.2 : il existe a tel que f(a) est non nul.
On remarque alors que |f(a/2)/(a/2)|>|f(a)/a|, donc |f(a/2^n)/(a/2^n)| > |f(a)/a| et donc |f'(0)| non nul.
On en déduit que f(x) est différent de 0 si x est non nul (sinon f(b)=0 ==> f(b/2^n)/(b/2^n)=0 et f'(0)=0).

Soit alors x0 et y0=f(x0) pour un x0 non nul.
Il existe z0 unique (pour x0 et y0 donnés) tel que y0=tanh(z0*x0)
Il est facile de voir alors que f(x0/2)=tanh(z0*x0/2) et donc f(x0/2^n)=tanh(z0*x0/2^n) .
On a alors f(x0/2^n)/(x0/2^n)=tanh(z0*x0/2^n)/(x0/2^n).
En passant à la limite, on a f'(0)=z0

Donc z0 est une constante et f(x0)=tanh(f'(0)x0) pour tout x0

Les solutions sont donc :
f(x)=0
f(x)=1
f(x)=-1
f(x)=tanh(f'(0)x)

--
Patrick

SALUT Mr pco,
merçi pour la resolution ,
(franchement je nai trouvé que 0,1,-1 comme solution )