Deux défis des Polynomes:

1/Trouvez tout les polynomes P(x) tel que:
(x-8)P(2x)=8(x-1)P(x).
2/Trouvez tout les polynomes P(x) tel que:
(x-81)P(3x)=81(x-1)P(x).
Bonne chance.

1/

On a :
P(x)= a1(xⁿ)+a2(x^n-1) ...... +an
P(2x)= a1((2x)ⁿ) +a2((2x)^n-1) ...... +an

Puis (x-8)P(2x)=8(x-1)P(x)
<=>8(x-1)a1(xⁿ)+a2(x^n-1) ...... +an=(x-8 )(a1((2x)ⁿ) +a2((2x)^n-1) ...... +an)

Le degré de celui à gauche et le même que celui à droite donc :
8x a1(xⁿ) =x a1 ((2x)ⁿ)
<=> 8 xⁿ=(2x)ⁿ
<=>8=2ⁿ
<=>n=3

Donc P(x) est de degré 3 .

P(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

Puis on a :
pour x=8
56P( 8 )=0 <=> P(8 )=0
Pour x=1
-7P(2)=0 <=> P(2)=0
Pour x=2
-6P(4)=8P(2)=0 <=> P(4)=0

Donc :
P(x)=a(x-2)(x-4)(x- 8 )
On procède de la même façons pour l'autre .. je te laisse faire
Sauf erreur

Tu es le meilleur sylphaen.
Je n'ai rien à ajouter.

Je te remercie sur la méthode que je viens de maitriser.
Pour la deuxième on peut facilement trouver que n=4.
Et que P(81)=0,P(3)=0,P(9)=0,et P(27)=0.
Donc P(x)=a(x-3)(x-9)(x-27)(x-81).