Equations:

Exercice1:
Soient a et b deux réels connus
S est l'ensemble des solution de l'équation x^2-ax+b=0.
T est l'ensemble des solution de l'équation x^2-bx+a=0.
Trouvez a et b sachant que:
S union T = {-1;1;2;3}.
Exercice2:
Soit a un réel tel que:
Montrez qu'il existe un réel x tel que:
lxl=<a
x+1/x=2a
Exercice3:
a,b et c les mesures des trois cotés d'un triangle de telle sorte que: a<b<c.
Montrez que l'équation x^2-(a+b+c)x+a^2+b^2=0 admet deux solutions distincts.
Bon courage.

Il y avait une ereur, au lieu d'intersection c'est union.
C'est édité.

Pour le troisième:
il suffit de prouver que (a+b+c)^2>4(a^2+b^2).
Il est facile de prouver que: (a+b+c)^2>c^2+3b^2+5a^2.==>(1)
D'autre part, on a c>b
Donc c^2>b^2.
Et on a a^2>0. Puisque a>0 (côté d'un triangle).
Donc c^2+a^2>b^2.
Donc c^2+a^2+4a^2+3b^2>b^2+4a^2+3b^2.
Soit en résumé: c^2+3b^2+5a^2>4a^2+4b^2. ==>(2)
Et de 1 et 2, on déduit que: (a+b+c)^2>4(a^2+b^2).
Donc l'équation x^2-(a+b+c)x+a^2+b^2=0 admet deux solutions distincts.
Son discriminent est (a+b+c)^2-4(a^2+b^2).
J'ai démontré qu'il est positif.
A vous de commenter ma solution.

Pour le premier:
J'ai une question, avant d'entammer la réponse:
Si, on a S={1} et T={2,3}.
Est-ce qu'on peut dire que S union T = {-1;1;2;3}?
Merci d'avance pour la réponse.

S intersection T = l'ensemble vide.
Pourquoi penseraits-tu qu'il serait = {-1;1;2;3}?

Othmaann a écrit:

S intersection T = l'ensemble vide.
Pourquoi penseraits-tu qu'il serait = {-1;1;2;3}?

Je veux dire union au lieu d'intersection.

Ah ok , mais meme dans ce cas S union T = {1;2;3} , pourquoi as-tu ajouté le {-1} ??

Othmaann a écrit:

Ah ok , mais meme dans ce cas S union T = {1;2;3} , pourquoi as-tu ajouté le {-1} ??

C'est ça ce que je veux savoir:
A-t-on le droit d'ajouter le {-1} ou non?

Non non , tu n'en as pas le droit.
Par définition l'intersection de deux ensembles non vides S et T c'est l'ensemble des élements appartenants à S ET a T. Or l'union de deux ensembles non vides S et T c'est l'ensemble des élements appartenants à S OU à T.

Othmaann a écrit:

Non non , tu n'en as pas le droit.
Par définition l'intersection de deux ensembles non vides S et T c'est l'ensemble des élements appartenants à S ET a T. Or l'union de deux ensembles non vides S et T c'est l'ensemble des élements appartenants à S OU à T.

Je vais écrire donc la solution plus tard.
Merci pour ton aide.

ce n'est rien.
Par contre j'ai essayé de resoudre ton exercice et j'ai trouvé qu'il nexiste pas de tel réel a et b je pense qu'il y'a une erreur et qu'il devrait yavoir un moins dans la deuxieme equation (x² -bx-a). Ne serait-ce pas le cas ??? merci d'avance.

Pour le premier:
Méme chose dans ma tentative, on ne peut pas trouver la méme valeur de a et b dans les deux equations aprés faire tout les cas.
Pour le deuxiéme:

1/ Si x>=0 On a: x+1/x>=2 (1)
Si x=<0 On a: x+1/x=<2 (2)
De (1) et (2): (E,a£|R) tels que: x+1/x=2a.
2/ On sait qu'il existe un x tels que: -a=<x=<a <=> |x|=<a

Pour le troisiéme:

x²-(a+b+c)x+a²+b²=0
Delta=(a+b+c)²-4(a²+b²)>=(a+2b)²-4(a²+b²)>=-3a²+4ab>=-3a²+4a²=a²>0
Donc il existe deux racines strictes à cette equation.

pour le premier Exo il y aura une solution si :
S est l'ensemble des solution de l'équation x^2-ax+b=0.
T est l'ensemble des solution de l'équation x^2+bx+a=0.
ou l'inverse ! où a=2 et b=-3

de préférence soufiane il faut changer le signe de la derniere constante ca facilite la demonstration.

Othmaann a écrit:

ce n'est rien.
Par contre j'ai essayé de resoudre ton exercice et j'ai trouvé qu'il nexiste pas de tel réel a et b je pense qu'il y'a une erreur et qu'il devrait yavoir un moins dans la deuxieme equation (x² -bx-a). Ne serait-ce pas le cas ??? merci d'avance.

Je suis avec ton avis.
On a S est l'ensemble des solution de l'équation x^2-ax+b=0.
Et T est l'ensemble des solution de l'équation x^2-bx+a=0.
Donc S union T est l'ensemble des solutions de (E): (x^2-ax+b)(x^2-bx+a)=0.
Si x=-1.
Alors ((-1)^2-a*(-1)+b)((-1)^2-b*(-1)+a)=0.
Donc (1+a+b)(1+a+b)=0.
Donc a+b+1=0.==>(1)
Si x=1, et de la même manière on trouve que (1-a+b)(1-b+a)=0.
Donc 1-a+b=0 ou 1-b+a=0.
Donc 1+b=a ou 1+a=b.
Donc 1+b+a=a+a ou 1+a+b=b+b.
Donc 2a=0 ou 2b=0.
Donc a=0 ou b=0.
Si on a a=0, alors b=-1.==>(*)
Et si on a b=0, alors a=-1.==>(**)
De (*) et (**), (E) s'écrit (x^2-1)(x^2+x)=0.
Et 3 n'est pas solution de (E).
C'est une contradiction.
D'où on déduit qu' il s'agit d'un exercice mal posé.