Exercices d'olympiades:

1/ABCD est un parallélogramme.
E et F sont deux points du plan tel que: AE=(2/3)AB et BF=(-1/2)BC.(vecteurs).
Montrez que les points D, E, et F son allignés.
2/Soit (E) l'équation suivante:
xV(12+8/7)-V(192+128/7)=0.
Montrez que la solution de l'équation (E) est rationnelle.
3/ABC est un triangle et (C) son cercle surconscrit.
Le bissectrice de l'angle BAC coupe (BC) en E et le cercle (C) en F.
Montrez que (BF) est tangente du cercle C' circonscrit au triangle ABE.
P.S: Ce sont des exercices de l'année précédante dans la phase éléminatoire des olympiades.
Bonne chance.

Le troisième est le plus intéressant.


Qui est vraie d'après le théorème de l'angle inscrit.

Les élèves du collège n'ont pas encore étudier ce genre de démonstration.
Il y a deux autres méthodes pour résoudre cet exercice et qui sont du niveau collège.
Bonne chance.

nmo a écrit:

Les élèves du collège n'ont pas encore étudier ce genre de démonstration.

Je ne vois pas ce qu'il y a d'"ésotérique" dedans ? Ma démonstration ne fait intervenir que le théorème de l'angle inscrit...

Ce que je veut dire que les collégiens commencent par toujours par les données et arrivent au résultat.
Toi, tu as fait le contraire.

4/Montrez que 1/(n+V2)<1/V2 pour tout n naturel non nul.
En déduire que:1/(1+V2)+1/(2+V2)+1/(3+V2)+...+1/(9+V2)<5V2.
5/Dans le plan muni d'un repère cartésien orthogonal orthonormé (O,I,J), on considère les points E(-3,1), F(0,1), G(3,-2), et H(-6,-2).
* Ecrivez HG en fonction de EF. (vecteurs).
*Comparez EH et FG.
*En déduire la nature du quadrilatère EFGH avec justification.
P.S: c'est la suite et fin des exercices.
Bonne chance.

tu peux poster la solution du premier exercice j ariive pas à le resooudre

Azerty1995 a écrit:

tu peux poster la solution du premier exercice j ariive pas à le resooudre

Je vais répondre sur tout le test. Attends mes prochains messages.

Pour le deuxième:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Et puisque V(12+8/7)#0.
Il s'ensuit que .
Donc .
Donc la solution de l'équation (E) est rationnelle.

Pour le premier:
Première methode: (vecteur dans tout qui suit)
On a DE=DA+AE.
Donc DE=AE-AD.
Donc DE=(2/3)AB-AD.==>(1)
Et on a DF=DA+AB+BF.
Donc DF=-AD+AB-(1/2)BC.
Donc DF=-AD-(1/2)AD+AB.
Donc DF=-(3/2)AD+AB.==>(2)
Et de 1 et 2, on a -3/2DE=DF.
Donc les points D, E, et F sont allignés.

Bien joué^^ merci pour ta solution

Pour le premier:
Deuxième methode: (vecteur dans tout qui suit)
On a AE=(2/3)AB et BF=-(1/2)BC.
Donc 3AE=2AB et -BC=2BF.
Donc 3AE=2AB et -AD=2BF.
Donc 3AE-AD=2AB+2BF.
Donc 3AE-AD=2AF.
Donc 3AE=AD+2AF.
Donc 3AE=AE+ED+2AE+2EF.
Donc 3AE=3AE+ED+2EF.
Donc 0=ED+2EF.
Donc ED=-2EF.
Donc les points D, E, et F sont allignés.

j'ai trouvé une deuxième méthode:(tout est en vecteurs)
On sait que AE=(2/3)AB alors EB=(1/3)AB
On a :
EF=EB+BF
EF=(1/3)AB-(1/2)BC

DE=DA+AE
DE=(2/3)AB-BC
DE=2((1/3)AB-(1/2)BC)
DE=2EF
Alors les points D,E,F sont allignés.

C juste ma démonstration

??

Pour le quatrième:
1/On a n un entier naturel.
Donc .
Donc .
Donc .
2/On remplace n par 1 et 2 et 3 et ... et 10.
On obtient et et et ... et .
Donc .
Et on a .
Donc .

Azerty1995 a écrit:

j'ai trouvé une deuxième méthode:(tout est en vecteurs)
On sait que AE=(2/3)AB alors EB=(1/3)AB
On a :
EF=EB+BF
EF=(1/3)AB-(1/2)BC

DE=DA+AE
DE=(2/3)AB-BC
DE=2((1/3)AB-(1/2)BC)
DE=2EF
Alors les points D,E,F sont allignés.

C'est ma deuxième méthode pour résoudre l'exercice et elle est juste.

Pour le cinquième:
On a .
Donc .
Donc .==>(1)
Et on a .
Donc .
Donc .==>(2)
Et de 1 et 2 on déduit que .
2/On a .
Et on a .
Donc .
3/De la première et la deuxième question, on déduit que le quadrilatère EFGH est un trapèze isocèle sa petite base est [EF] et sa grande base est [HG].

Pour le troisième:
Première méthode:
On a O' le centre du cercle (C').
Posons EAC=EAB=a et O'BE=b. (angles)
On a CAF=EBF car ce sont deux angles inscrits dans le cercle (C) limitant le même arc [CF].
Et on a BO'E=2BAE (angles) car ce sont deux angles associés au centre périphériques.
Donc BO'E=2a. (angle)
D'autre part, on a O'BE est un triangle isocèle en O' car O'E et O'B sont deux rayons du cercle (C')
Donc O'BE=O'EB=b. (angles)
Dans le triangle BO'E+BEO'+O'BE=180°. (angles)
Donc 2a+b+b=180°.
Donc 2a+2b=180°.
Donc 2(a+b)=2*90°.
Donc a+b=90°.
Et on a O'BF=O'BE+EBF. (angles)
Donc O'BF=b+a. (angle)
Donc O'BF=90°. (angle)
Il s'ensuit que (BF) et (O'B) sont perpendiculaires.
C'est à dire que (BF) tangente à (C').

Pour le troisième:
Deuxième méthode:
On a O' le centre du cercle (C') et [BG] diamètre dans le même cercle.
On a BAG=90° (angle) car c'est un angle inscrit limitant un demi-cercle.
Donc AGB+GBA=90° (angles) car ce sont deux angles supplémentaires dans le triangle AGB.
Donc AGE+EGB+GBA+90°.==>(1) (angles)
Et on a ABE=AGE (angles) car ce sont deux angles inscrits dans le cercle (C') limitant le même arc [AE].==>(2)
Et on a BGE=BAE (angles) car ce sont deux angles inscrits limitant le même arc [BE].
Et on a FBC=FAC (angles) car ce sont deux angles inscrits limitant le même arc [FC].
Et on a [AE) est bissectrice de l'angle BAC.
Donc EAB=FAC. (angles)
Donc BGE=FBC.==>(3) (angles)
Ainsi la relation 1 peut s'écrire en utilisant 2 et 3 comme suit: ABE+FBC+GBA=90°. (angles)
Donc GBF=90°. (angle)
Il s'ensuit que (BF) et (O'B) sont perpendiculaires.
C'est à dire que (BF) tangente à (C').

Pour l'information, les premières méthodes sont du professeur et les deuxièmes sont les miennes.