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 Exercices d'olympiades:

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nmo
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MessageSujet: Exercices d'olympiades:   Dim 07 Fév 2010, 11:33

1/ABCD est un parallélogramme.
E et F sont deux points du plan tel que: AE=(2/3)AB et BF=(-1/2)BC.(vecteurs).
Montrez que les points D, E, et F son allignés.
2/Soit (E) l'équation suivante:
xV(12+8/7)-V(192+128/7)=0.
Montrez que la solution de l'équation (E) est rationnelle.
3/ABC est un triangle et (C) son cercle surconscrit.
Le bissectrice de l'angle BAC coupe (BC) en E et le cercle (C) en F.
Montrez que (BF) est tangente du cercle C' circonscrit au triangle ABE.
P.S: Ce sont des exercices de l'année précédante dans la phase éléminatoire des olympiades.
Bonne chance.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Dim 07 Fév 2010, 12:51

Le troisième est le plus intéressant.


Qui est vraie d'après le théorème de l'angle inscrit.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Dim 07 Fév 2010, 13:17

Les élèves du collège n'ont pas encore étudier ce genre de démonstration.
Il y a deux autres méthodes pour résoudre cet exercice et qui sont du niveau collège.
Bonne chance.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Dim 07 Fév 2010, 14:08

nmo a écrit:
Les élèves du collège n'ont pas encore étudier ce genre de démonstration.
Je ne vois pas ce qu'il y a d'"ésotérique" dedans ? Ma démonstration ne fait intervenir que le théorème de l'angle inscrit...
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Lun 08 Fév 2010, 18:58

Ce que je veut dire que les collégiens commencent par toujours par les données et arrivent au résultat.
Toi, tu as fait le contraire.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Sam 13 Fév 2010, 18:53

4/Montrez que 1/(n+V2)<1/V2 pour tout n naturel non nul.
En déduire que:1/(1+V2)+1/(2+V2)+1/(3+V2)+...+1/(9+V2)<5V2.
5/Dans le plan muni d'un repère cartésien orthogonal orthonormé (O,I,J), on considère les points E(-3,1), F(0,1), G(3,-2), et H(-6,-2).
* Ecrivez HG en fonction de EF. (vecteurs).
*Comparez EH et FG.
*En déduire la nature du quadrilatère EFGH avec justification.
P.S: c'est la suite et fin des exercices.
Bonne chance.


Dernière édition par nmo le Ven 05 Mar 2010, 15:21, édité 1 fois
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 13:17

tu peux poster la solution du premier exercice j ariive pas à le resooudre
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 15:23

Azerty1995 a écrit:
tu peux poster la solution du premier exercice j ariive pas à le resooudre
Je vais répondre sur tout le test. Attends mes prochains messages.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 15:35

Pour le deuxième:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Et puisque V(12+8/7)#0.
Il s'ensuit que .
Donc .
Donc la solution de l'équation (E) est rationnelle.


Dernière édition par nmo le Ven 05 Mar 2010, 15:44, édité 1 fois
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 15:43

Pour le premier:
Première methode: (vecteur dans tout qui suit)
On a DE=DA+AE.
Donc DE=AE-AD.
Donc DE=(2/3)AB-AD.==>(1)
Et on a DF=DA+AB+BF.
Donc DF=-AD+AB-(1/2)BC.
Donc DF=-AD-(1/2)AD+AB.
Donc DF=-(3/2)AD+AB.==>(2)
Et de 1 et 2, on a -3/2DE=DF.
Donc les points D, E, et F sont allignés.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 15:44

Bien joué^^ merci pour ta solution
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 15:52

Pour le premier:
Deuxième methode: (vecteur dans tout qui suit)
On a AE=(2/3)AB et BF=-(1/2)BC.
Donc 3AE=2AB et -BC=2BF.
Donc 3AE=2AB et -AD=2BF.
Donc 3AE-AD=2AB+2BF.
Donc 3AE-AD=2AF.
Donc 3AE=AD+2AF.
Donc 3AE=AE+ED+2AE+2EF.
Donc 3AE=3AE+ED+2EF.
Donc 0=ED+2EF.
Donc ED=-2EF.
Donc les points D, E, et F sont allignés.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 16:02

j'ai trouvé une deuxième méthode:(tout est en vecteurs)
On sait que AE=(2/3)AB alors EB=(1/3)AB
On a :
EF=EB+BF
EF=(1/3)AB-(1/2)BC

DE=DA+AE
DE=(2/3)AB-BC
DE=2((1/3)AB-(1/2)BC)
DE=2EF
Alors les points D,E,F sont allignés.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 16:03

C juste ma démonstration
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 16:03

??
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 16:09

Pour le quatrième:
1/On a n un entier naturel.
Donc .
Donc .
Donc .
2/On remplace n par 1 et 2 et 3 et ... et 10.
On obtient et et et ... et .
Donc .
Et on a .
Donc .
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 16:11

Azerty1995 a écrit:
j'ai trouvé une deuxième méthode:(tout est en vecteurs)
On sait que AE=(2/3)AB alors EB=(1/3)AB
On a :
EF=EB+BF
EF=(1/3)AB-(1/2)BC

DE=DA+AE
DE=(2/3)AB-BC
DE=2((1/3)AB-(1/2)BC)
DE=2EF
Alors les points D,E,F sont allignés.
C'est ma deuxième méthode pour résoudre l'exercice et elle est juste.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 16:33

Pour le cinquième:
On a .
Donc .
Donc .==>(1)
Et on a .
Donc .
Donc .==>(2)
Et de 1 et 2 on déduit que .
2/On a .
Et on a .
Donc .
3/De la première et la deuxième question, on déduit que le quadrilatère EFGH est un trapèze isocèle sa petite base est [EF] et sa grande base est [HG].
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 16:54

Pour le troisième:
Première méthode:
On a O' le centre du cercle (C').
Posons EAC=EAB=a et O'BE=b. (angles)
On a CAF=EBF car ce sont deux angles inscrits dans le cercle (C) limitant le même arc [CF].
Et on a BO'E=2BAE (angles) car ce sont deux angles associés au centre périphériques.
Donc BO'E=2a. (angle)
D'autre part, on a O'BE est un triangle isocèle en O' car O'E et O'B sont deux rayons du cercle (C')
Donc O'BE=O'EB=b. (angles)
Dans le triangle BO'E+BEO'+O'BE=180°. (angles)
Donc 2a+b+b=180°.
Donc 2a+2b=180°.
Donc 2(a+b)=2*90°.
Donc a+b=90°.
Et on a O'BF=O'BE+EBF. (angles)
Donc O'BF=b+a. (angle)
Donc O'BF=90°. (angle)
Il s'ensuit que (BF) et (O'B) sont perpendiculaires.
C'est à dire que (BF) tangente à (C').
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 18:14

Pour le troisième:
Deuxième méthode:
On a O' le centre du cercle (C') et [BG] diamètre dans le même cercle.
On a BAG=90° (angle) car c'est un angle inscrit limitant un demi-cercle.
Donc AGB+GBA=90° (angles) car ce sont deux angles supplémentaires dans le triangle AGB.
Donc AGE+EGB+GBA+90°.==>(1) (angles)
Et on a ABE=AGE (angles) car ce sont deux angles inscrits dans le cercle (C') limitant le même arc [AE].==>(2)
Et on a BGE=BAE (angles) car ce sont deux angles inscrits limitant le même arc [BE].
Et on a FBC=FAC (angles) car ce sont deux angles inscrits limitant le même arc [FC].
Et on a [AE) est bissectrice de l'angle BAC.
Donc EAB=FAC. (angles)
Donc BGE=FBC.==>(3) (angles)
Ainsi la relation 1 peut s'écrire en utilisant 2 et 3 comme suit: ABE+FBC+GBA=90°. (angles)
Donc GBF=90°. (angle)
Il s'ensuit que (BF) et (O'B) sont perpendiculaires.
C'est à dire que (BF) tangente à (C').
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercices d'olympiades:   Ven 05 Mar 2010, 18:16

Pour l'information, les premières méthodes sont du professeur et les deuxièmes sont les miennes.
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