Inégalité (Own)

.
. ()
D'où : .
PS : Pour que la syntaxe soit correcte, il faudrait penser à ajouter la condition : .

Ta remarque est pertinente, merci.
Je corrige donc la première ligne :
Il est connu que : , pour tout réel x.
D'où : ()
En sommant, il vient que : .

elle n'est pas très difficile ta (own) à démontrer mais je crois qu'elle pourrais être utile (en tout cas elle me semble un peu familier :/)
soit x et y deux réels:
on a (1+x²)(y²+1)>=x(1+y²)+y(1+x²) ------- (d'après un test d'olympiade de cette année si vous en souvenez ^^)
<=> [x(1+y²)+y(1+x²)]/[(1+x²)(y²+1)]=<1
alors que : 1+(1-xy)²/(1+xy)² >= 1
donc : 1 + (1-xy)²/(1+xy)² >= x/(x²+1) + y(y²+1)
CQFD
ps: ça me prend un peu du temps pour écrire en latex alors desolé pour la mal écriture

hammadioss a écrit:

elle n'est pas très difficile ta (own) à démontrer mais je crois qu'elle pourrais être utile (en tout cas elle me semble un peu familier :/)
soit x et y deux réels:
on a (1+x²)(y²+1)>=x(1+y²)+y(1+x²) ------- (d'après un test d'olympiade de cette année si vous en souvenez ^^)
<=> [x(1+y²)+y(1+x²)]/[(1+x²)(y²+1)]=<1
alors que : 1+(1-xy)²/(1+xy)² >= 1
donc : 1 + (1-xy)²/(1+xy)² >= x/(x²+1) + y(y²+1)
CQFD
ps: ça me prend un peu du temps pour écrire en latex alors desolé pour la mal écriture

tu n'as fais que l'introduction il te reste encore la deuxième inégalité qui est l'essentiel de ce topic.

C'est moche comme solution mais c'est une solution
IAG => x²+3>= 4x^(1/2)
alors il suffit de montrer que:
lxl^1/2 +lyl^1/2 + 4xy/(1+3x²y²) =< 3

en considérant f(x,y)=lxl^1/2 +lyl^1/2 + 4xy/(1+3x²y²)
et en calculant df/dx et df/dy
df/dx=df/dy=0 => x²y²=1/3 ou x=y
en traitant chacun des cas on trouve que f admet un maximum local pour tout point vérifiant xy=1/(3^1/2) et un minimum local pour xy=-1/(3^1/2)
donc pour n'importe quel réels (x1,y1) vérifiant p1=x1y1=1/(3^1/2)
on a f(x,y)=<f(x1,y1) = 2,914536224 =< 3

codex00 a écrit:

C'est moche comme solution mais c'est une solution
IAG => x²+3>= 4x^(1/2)
alors il suffit de montrer que:
lxl^1/2 +lyl^1/2 + 4xy/(1+3x²y²) =< 3
en considérant f(x,y)=lxl^1/2 +lyl^1/2 + 4xy/(1+3x²y²)
et en calculant df/dx et df/dy
df/dx=df/dy=0 => x²y²=1/3 ou x=y
en traitant chacun des cas on trouve que f admet un maximum local pour tout point vérifiant xy=1/(3^1/2) et un minimum local pour xy=-1/(3^1/2)
donc pour n'importe quel réels (x1,y1) vérifiant p1=x1y1=1/(3^1/2)
on a f(x,y)=<f(x1,y1) = 2,914536224 =< 3

Bonsoir codex00! mon niveau modeste ne me permet pas de comprendre cette solution, cependant, j'ai quelques remarques:

rouge=> Là, tu as ignoré le cas ou x ou y sont négatifs.

vert=> Ici, ca doit être strictement inferieur<.

Aussi il y a quelques choses qui renforce mon doute a propos de la verité de ta solution, pour ce qui est en mauve, pourquoi la fonction doit-elle avoir un minimum, surtout en xy=1/3, puisqu'on voit clairement que cette fontion prend toujours une valeur minimal lorsque x et y tendent vers 0. encore la dernière ligne prouve que l'inegalité est stricte, Or, on peux remarqué qu'il y a un cas d'égalité, c'est lorsque x=y=1, il y a surement quelques choses qui clochent dans ta solution, surtout que j'arrive pas à comprendre le methode tout entiere.


P.S: je serai très content, si tu m'explique ta solution en detaille, soit par poste, soit par mp, merci en tout cas.

voilà

Bonjour
voici
ton inego est ekivalente a:

si x =<0 ou y=<0 l'inégalitée est bien équivalente
on travaille mnt qu'avec x>0 et y>0
on pose z=1/p
on aura xyz=1
donc linego est ékivalente a :

éqyuvakente a :

et on sait que:
x²y²+x²z²+y²z²=(xy+xz+yz)²-2(x+y+z)
et x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+yz)
et puisque
84=120-12xyz-12xyz-12xyz
on pose x+y+z=a et xy+yz+xz=b
donc on aura
A=9b²+27a²-12ab-58b-54a+120
A=9(a-3)²+6(a-b)²+3(b-3)²+12a²-40b+12
donc il suffit de montrer que 12a²-40b+12>=0
<==>3a²+3>=10b
<==> 3(x+y+z)²+3>=10(xy+xz+yz)
<==> 3(x²+y²+z²)+3>=4(xy+xz+yz)
or on a 2(x²+y²+z²)>=2(xy+xz+yz)
donc il suffit de montrer que
x²+y²+z²+3>=2(xy+xz+yz)
<==> x²+y²+z²+2xyz+1>=2(xy+xz+yz)
ce qui n'est pas difficile a démontrer
A+