Préparation pour le troisième tour d'olympiade:

Idriss BOUDHAR a écrit:

OLYMPIADES MATHEMATIQUES
Exercice 1
Soient x, et y deux réels tels que x>0 et y>0.
Soit m le plus petit des nombres x, 1/y et y+1/x.
Démontrer que m=<V2.
Exercice 2
Déterminer toutes les applications f de IR vers IR telles que pour tous x et
y de IR: f(x+y)*f(x-y)=2x+f(x^2-y^2).
Exercice 3
Démontrer que quelquesoit a:
a^2004 - a^2003 + a^1998 - a^1995 + a^1992 - a +1 > 0
Exercice 4
On construit à l’extérieur d’un triangle ABC les deux rectangles ABB1B2 et
ACC1C2 tels que : AB=AC2 et AC=AB2
Soit S le point d’intersection de (BC2) et (CB2)
1-démontrer que la mesure de BSC est 90°.
2-démontrer que B1, S et C1 sont alignés.
Exercice 5
Soit a un réel non nul. Sachant que a^3+18/a^3=18 calculer a^4+1/a^4.
Exercice 6
x, y et z sont des réels strictement positifs tels que xyz(x+y+z)=1
Démontrer que (x+y)(y+z)>=2.
Exercice 7
Soient x et y deux réels strictement positifs.
Démontrer que Vx(1+1/y)+Vy(1+1/x)>=4.
Exercice 8 (25-11-2005)
On pose :a_n=1/[(n+1)Vn+nV(n+1)].
Calculer a1+a2+a3+……+a99.
Exercice 9 (25-11-05)
a) u, v, x et y sont des nombres réels strictement positifs. Montrer que :u/x + v/y >= 4(uy+xv)/(x+y)^2.
b) a, b, c, et d sont des nombres réels strictement positifs. Montrer que: a/(b+2c+d)+ b/(c+2d+a) + c/(d+2a+b) + d/(a+2b+c)>=1.
Exercice 10 (25-11-05)
ABCD est quadrilatère convexe et inscriptible tel que CD<AB et BC<AD
soit P un point du segment [AB] tel que AP=CD et soit Q un point du
segment [AD] tel que AQ=BC. Les droites (AC) et (PQ) se coupent en M.
Montrer que M est le milieu de [PQ].
Exercice 11 (25-11-05)
Déterminer toutes les fonctions réelles f définies sur IR et vérifiant:
yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2).
Exercice 12 (11-11-05)
Soit ABCD un rectangle. Soient E et F deux points de la diagonale [AC]
tels que : AE=AB et AF=AD. Soient G et H respectivement les projections
orthogonales de E et F sur [AB]. Montrer que AG+FH=AC.
Exercice 13 (11-11-05)
Soient a, b et c trois réels strictement positifs tels que : abc=1
Montrer que :(1+ab)/1+a +(1+bc)/1+b + (1+ac)/1+c>=3.
Exercice 14 (11-11-05)
Déterminer tous les nombres naturels premiers p et q tel que (p+1)^q soit
un carré parfait. (i.e :carré d’un nombre naturel)
Exercice 15 (11-11-05)
Soient a, b et c trois réels tels que : |a|<1, |b|<1 et |c|<1.
Montrer que ab+cb+ca+1>0

Celui ou celle qui veut répondre doit citer l'exercice puis le résoudre.
Un point pour une très bonne réponse pour voir qui sera notre gagnant pour ce petit jeu.
Moi aussi, je vais participer car je viens de télécharger ce PDF.
Que le défi se lance.
Bonne chance.

Les exercices 5, 6, et 15 sont annulés car ils sont déja postés.
Si celui qui va réondre ne veut pas citer, il doit numéroter l'exercice.

Pour 1 c plutôt m=min(x,1/y,x+1/y)
Sinon prends x=y=1 ou x=1 ,y=2

Pour l'exercice 9: a:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
CQFD.

Sylphaen a écrit:

Pour 1 c plutôt m=<2
Sinon prends x=y=1 ou x=1 ,y=2

Pour assurer ton intervention, réponds à la question.

Bonjour, bien fais Mr nmo
J'ai pensé qu'il ya une faute. Mr Sylphaen mes doutes
Bonne remarque.

J'ai édité ma remarque , et pour confirmer mes doutes :
Si m=x alors :


Si m=1/y alors :


Si m=y+1/x alors :

D'où le résultat .

Pour le 7:
.
Et on a
et
Donc
D'autre part
Finalement
CQFD

Verry nice.

T'a commis une erreur fatal Marjani !
1+ab>1 et 1+a>1 n'implique pas que 1+ab/1+a>1
Car 1/a+1<1 .
Enfin pour celui là il suffit d'utiliser l'inégalité entre les moyenne et on a (1+ab)(1+ac)(1+bc)/(1+a)(1+b)(1+c)=1 ..

Sylphaen a écrit:

T'a commis une erreur fatal Marjani !
1+ab>1 et 1+a>1 n'implique pas que 1+ab/1+a>1
Car 1/a+1<1 .
Enfin pour celui là il suffit d'utiliser l'inégalité entre les moyenne et on a (1+ab)(1+ac)(1+bc)/(1+a)(1+b)(1+c)=1 ..

Je t'invite à poster la solution complète pour mériter un point.

A446 a écrit:

Pour le 3 c'est trop logique:
on a:
a^2004=(a^1002)^2>0
-a^2003 est toujour plus peti que a^2004 qui est strictement positif
donc:a^2004-a^2003>0
on fait la meme chose pour a^1998 et -a^1995
ce qui donne:
a^1998-a^1995>0
donc:
a^2004-a^2003+a^1998-a^1995>0
a^2004-a^2003+a^1998-a^1995+1>0
et encore on fait la meme technique avec -a et a^1992
ce qui donne la solution.

Si 1>a.
Donc a^2003>2^2004. au cas ou a est positif.
Une solution fausse et pas logique.

Pour le 2:
On a f(x+y)*f(x-y)=2x+f(x^2-y^2).
Donc f(x+y)*f(x-y)=x+y+x-y+f((x-y)(x+y)).
Posons a=x+y et b=x-y.
Alors f(a)*f(b)=a+b+f(ab).
Si a=b=0.
Alors f(0)*f(0)=0+0++f(0).
Donc f(0)*f(0)=f(0).
Donc f(0)*f(0)-f(0)=0.
Donc f(0)[f(0)-1]=0.
Donc f(0)=0 ou f(0)-1=0.
Donc f(0)=0 ou f(0)=1.
Le premier cas: f(0)=0.
On prend a=1 et b=0.
On a f(a)*f(b)=a+b+f(ab).
Donc f(1)*f(0)=1+0+f(0*1).
Donc 0*f(1)=1+f(0).
Donc 0=1+0.
Donc 0=1.
Ce qui est faux.
Le deuxième cas: f(0)=1.
On prend b=0.
On a f(a)*f(b)=a+b+f(ab).
Donc f(a)*f(0)=a+0+f(a*0).
Donc 1*f(a)=a+f(0).
Donc f(a)=a+1.
Réciproquement, soit a et b de IR.
On a f(a)*f(b)=(1+a)(1+b).
Donc f(a)*f(b)=1+a+b+ab.==>(1)
Et on a a+b+f(ab)=a+b+1+ab.==>(2)
De 1 et 2, on conclut que f(a)*f(b)=a+b+f(ab).
De tout qui précède, on conclut que la seule application qui vérifie les donnée est f(a)=1+a.
Bien entendu f(x)=1+x.
A vous de juger.

Sylphaen a écrit:

T'a commis une erreur fatal Marjani !
1+ab>1 et 1+a>1 n'implique pas que 1+ab/1+a>1
Car 1/a+1<1 .
Enfin pour celui là il suffit d'utiliser l'inégalité entre les moyenne et on a (1+ab)(1+ac)(1+bc)/(1+a)(1+b)(1+c)=1 ..

Désolé, j'ai pas compléter l'écriture de la démonstration, je veux pas dire ça xD.

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Bon voilà pour 2:

f(x+y)*f(x-y)=2x+f(x²-y²)
Prenons x=y: f(2x)*f(0)=2x+f(0) (2) => f(0).(f0-1)=0
=> f(0)=0 Ou f(0)=1
Cas1: Si f(0)=0
on a: f(0).(f(2)-1)=0
Mais dans la premiére égalité prenons x=y=1 donc on a: f(0).(f(2)-1)=2 (3)
Ce qui est impossible.
Cas2: Si f(0)=1 On a:
dans (2) f(2x)-1=2x=> f(2x)=2x+1 (4)
Et dans (3) : f(2)=3
Donc: prenons x=1 dans (4)
On trouve que: f(2)=3 !
Ce qui est vrai.
On suppose (عسكيا) alors que: f(0)=1
Et prenons f(x+y)*f(x-y)=2x+f((x+y)(x-y)=f(X)*(Y)=f(XY)+X+Y car:((x+y)+(x-y)=2x=X+Y)
Et prenons X=0 => f(0)*f(Y)=f(0)+Y
=>f(y)=Y+1
D'ou f(x)=x+1

Ammicalement ^^

nmo a écrit:

Pour le 2:

A vous de juger.

Bien fais, desolé j'ai pas copié ta methode, on a fait l'exercise en méme temps.

Une petite édite dans ma méthode, pour la rendre complétement différente de Mr nmo

Bon voilà pour 2:

f(x+y)*f(x-y)=2x+f(x²-y²)
Prenons x=y: f(2x)*f(0)=2x+f(0) (2) => f(0).(f0-1)=0
=> f(0)=0 Ou f(0)=1
Cas1: Si f(0)=0
on a: f(0).(f(2)-1)=0
Mais dans la premiére égalité prenons x=y=1 donc on a: f(0).(f(2)-1)=2 (3)
Ce qui est impossible.
Cas2: Si f(0)=1 On a:
dans (2) f(2x)-1=2x=> f(2x)=2x+1 (4)
Et dans (3) : f(2)=3
Donc: prenons x=1 dans (4)
On trouve que: f(2)=3 !
Ce qui est vrai.
On suppose (عسكيا) alors que: f(0)=1
Et prenons dans la fonction: f(2x)=2x+1 : 2x=x
D'ou la seule fonction qui est juste dans |R est: f(x)=x+1
Ammicalement ^^

Je suis trés fatigué ce jour. A demain ncha2 lah.
Laissez-moi un EX, car je sais que vous allez les finir cette nuit xD

Bonne chance.

Pour le 8:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Si n=1, alors .
Donc .
Si n=2, alors .
Donc .
Et ....
Si n=99, alors .
Donc .
En sommant, on trouve .
Donc .
Donc .
Donc .
J'espère que ça soit juste.

Pour le 13:

Application dirrecte de IAG.. :





D'ou le résultat

nmo: 2.5 pts
M.Marjani:2 pts
Sylphaen:1 pts
Louis: 1pts

En attendant de vos participation.
Au plaisir

Pour l'éxercise 3

Posons:
Si:

On a:
Si: (car le tout est positif,il ya le carré et -a=x'£|R+)
Si:
Là on peut faire une petite variation: Donc posons:
Et puisque 0<a<1: il en résulte que: x>1
On peut écrire Y sous forme:
On a:
Ou bien:
D'ou: Y>0 dans |R
CQFD

Et j'espére que c'est juste.

Bonjour

Pour le 14:
Premiére cas:
p et q sont des nombres naturels premiérs tel que: (p+1)^q soit un carré parfait d'un nombre naturel biensur.

Et:


.
.
.



2éme cas:


Exemple de ce que je veux dire par le 2éme cas:
q=7=> Il faut que: p+1=7 pour que: (p+1)^q=a'^2 =>p=6
Il faut que p+1 soit pair de tout q£N*-{1,2,3}, puisque:P impair d'aprés les donnés.
On a: P pair de tout x>3. Ce qui est absurde. Donc 2=<q=<3

CQFD.

Pour le premier j'ai vu que m est le plus petit de x+1/y et y+1/x. Et qu'on doit montré que m=<2 à la place de m=<V2
Donc: les donnés sont changés. Je vais le faire dans une feuile une autre fois malgré il est déja répondu.