Concours ENSAM Meknès 2010

Je vous invite à télécharger le fichier PDF, du concours ENSAM 2010, et à donner vos avis, ou poster vos solutions :
Concours ENSAM.pdf

Merci pour ce partage. L'épreuve a duré combien de temps ?

2 heures 37 minutes exactement.

Mes solutions.

Première partie :

1 - Soit n de Z. Supposons que pour tout k de Z, on ait n² différent de 5k. On souhaite montrer qu'alors, pour tout l de Z, on ait n² différent de 5l. Par l'absurde, supposons qu'il existe un certain l_0 de Z, tel que n² = 5l_0. Alors ce l_0 ne vérifierait pas l'hypothèse faite au départ : que pour tout k de Z, on ait n² différent de 5k. Contradiction. La négation de (il existe un certain l_0 de Z, tel que n² = 5l_0) est donc vraie, qui est : (Pour tout l de Z, n² est différent de 5l).

2 - Par l'absurde, supposons qu'il existe un certain réel a tel que E(E(na)/n)>a. Puisque pour tout réel t, E(t) est inférieur à t, alors il vient que E(E(na)/n)<E(na)/n. Par transitivité, il vient E(na)/n > a, c'est-à-dire que E(na)>na. Cela est contradictoire, car rappelons-le, pour tout réel t, E(t) est inférieur à t.

Deuxième partie :

1 - Trivial. x appartient à [-3,5] est équivalent à |x-1|<=4. x appartient à [2,7] est équivalent à |x-9/2|<=5/2.

2 - Trivial. f(IR) = [0,3]. f([-1,1]) = [0,1]. f^(-1) ([-1,4]) = [0,3].

3 - Trivial. -5 <= x-y <= -1. -2 <= 2x+y <= 5. -6 <= xy <= 3.

4 - On remarque que E(-1) + E(1) = 0 mais que E(-1,5) + E(1,5). Cette remarque nous amène à étudier deux cas : si x est entier, et s'il ne l'est pas.
- S'il l'est, alors pour E(-x)=-x et E(x)=x par définition, et par conséquent, E(-x)+E(x)=0.
- S'il ne l'est pas, alors on a :
E(x) < x < E(x) + 1
E(-x) < -x < E(-x) + 1
Par conséquent, A < 0 < A + 2, donc 0 < -A < 2, donc -2 < A < 0, par conséquent, A étant entier, A vaut nécessairement -1.

6 - a est vraie. b est fausse. c est fausse.

7 - f^(-1) : ]-1,1| -> IR
x |-> x/(|x|-1)

8 - En multipliant par x+1 et en établissant une égalité polynomiale en x, il vient (a,b,c) = (1,-1,1). Inversement, ces valeurs vérifient la condition.

12 - ln(2) - 1/2 ?

13 - L'équation implique que x=0 et x=4, mais 0 est à retirer car 0^0 n'est pas défini.

Bonjour oussama merci infiniment pour tes efforts c vraiment gentil de votre part
pour le concours, je crois que c'est abordable et plein de questions sur la leçon de logique surtout

Spoiler:

indice pour 7ème exo première partie:

Spoiler:

pour 2ème partie exo 14

Spoiler:

merci encore une fois (j'essayerai de poster les autres solutions si j'aurai le temps

Pour le 14e exo, c'est p=q=0 ou (p=1 et q=-2)

Dijkschneier a écrit:

Mes solutions.
Première partie :
1 - Soit n de Z. Supposons que pour tout k de Z, on ait n² différent de 5k. On souhaite montrer qu'alors, pour tout l de Z, on ait n² différent de 5l. Par l'absurde, supposons qu'il existe un certain l_0 de Z, tel que n² = 5l_0. Alors ce l_0 ne vérifierait pas l'hypothèse faite au départ : que pour tout k de Z, on ait n² différent de 5k. Contradiction. La négation de (il existe un certain l_0 de Z, tel que n² = 5l_0) est donc vraie, qui est : (Pour tout l de Z, n² est différent de 5l).
2 - Par l'absurde, supposons qu'il existe un certain réel a tel que E(E(na)/n)>a. Puisque pour tout réel t, E(t) est inférieur à t, alors il vient que E(E(na)/n)<E(na)/n. Par transitivité, il vient E(na)/n > a, c'est-à-dire que E(na)>na. Cela est contradictoire, car rappelons-le, pour tout réel t, E(t) est inférieur à t.

Pour le premier exo, mieux vaut procéder par contraposée. Et pour le deuxième, nul besoin d'absurde, juste savoir que E(x) <= x

oussama1305 a écrit:

Pour le 14e exo, c'est p=q=0 ou (p=1 et q=-2)

oui oui dsl faute de frappe ooops ! ( c édité )

Merci oussama1305, est ce que tu peux partager aussi l'épreuve de physique?? merci d'avance, je vais proposer une solution détaillée après

pour 4 ème exo deuxième partie :
on a E(-x)=-E(x)-1 alors A=-1

tarask a écrit:

pour 4 ème exo deuxième partie :
on a E(-x)=-E(x)-1 alors A=-1

Voir mes solutions dans mon message précédent.

wi c juste en tout cas c une application directe d'une propriété de la partie entière:
E(-x)=-E(x)-1 sauf si x est entier alors E(-x)=-E(x)
moi j'ai pas fait le deuxième cas :p

oussama1305 a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Mes solutions.
Première partie :
1
- Soit n de Z. Supposons que pour tout k de Z, on ait n² différent de
5k. On souhaite montrer qu'alors, pour tout l de Z, on ait n² différent
de 5l. Par l'absurde, supposons qu'il existe un certain l_0 de Z, tel
que n² = 5l_0. Alors ce l_0 ne vérifierait pas l'hypothèse faite au
départ : que pour tout k de Z, on ait n² différent de 5k. Contradiction.
La négation de (il existe un certain l_0 de Z, tel que n² = 5l_0) est
donc vraie, qui est : (Pour tout l de Z, n² est différent de 5l).
2 -
Par l'absurde, supposons qu'il existe un certain réel a tel que
E(E(na)/n)>a. Puisque pour tout réel t, E(t) est inférieur à t, alors
il vient que E(E(na)/n) a, c'est-à-dire que E(na)>na. Cela est contradictoire, car rappelons-le, pour tout réel t, E(t) est inférieur à t.

Pour le premier exo, mieux vaut procéder par contraposée. Et pour le deuxième, nul besoin d'absurde, juste savoir que E(x) <= x

Oui, utilisant E[nx]=nE(x) !?
Pour l'exercice 6(Première partie):
Peut-on remarquer que U(n+1)>U(n) vue que qu'on doit mq 2racine(U(n+1)V(n) >= V(n)+U(n) ???

Pour la premiere partie
exercice 7:
x£ B => x £ AUB => x£ AUC
Cas 1) x n'appartient pas à A =>x £ C
Cas 2) x£ A => x£ AOB => x£ AOC => x£ C

Dijkschneier a écrit:

6 - a est fausse. b est fausse. c est fausse.

Bonjour
Pourquoi a et b sont fausses,?? (je vois le contraire)
Merci d'avance

La volonté a écrit:

Bonjour
Pourquoi a et b sont fausses,?? (je vois le contraire)
Merci d'avance

Je rectifie : a est vraie. En revanche, je persiste à dire que b est fausse. Dire que b est vrai équivaut à trouver un x non nul tel que x= z/y pour tout y et z non nuls : existe-t-il ?

Dijkschneier a écrit:

La volonté a écrit:

Bonjour
Pourquoi a et b sont fausses,?? (je vois le contraire)
Merci d'avance

Je rectifie : a est vraie. En revanche, je persiste à dire que b est fausse. Dire que b est vrai équivaut à trouver un x non nul tel que x= z/y pour tout y et z non nuls : existe-t-il ?

a est vraie, b est fausse ainsi que c.

oussama1305 a écrit:

Dijkschneier a écrit:

La volonté a écrit:

Bonjour
Pourquoi a et b sont fausses,?? (je vois le contraire)
Merci d'avance

Je rectifie : a est vraie. En revanche, je persiste à dire que b est fausse. Dire que b est vrai équivaut à trouver un x non nul tel que x= z/y pour tout y et z non nuls : existe-t-il ?

a est vraie, b est fausse ainsi que c.

Ok, Merci ^^
Que dites vous de 5 ??
(a-vrai;b-faux;c-vrai)

C'est cela, La volonté.
EDIT : Oups.. Je me rejoins à l'avis d'oussama1305 : la b est vraie.

La volonté a écrit:

oussama1305 a écrit:

Dijkschneier a écrit:

La volonté a écrit:

Bonjour
Pourquoi a et b sont fausses,?? (je vois le contraire)
Merci d'avance

Je rectifie : a est vraie. En revanche, je persiste à dire que b est fausse. Dire que b est vrai équivaut à trouver un x non nul tel que x= z/y pour tout y et z non nuls : existe-t-il ?

a est vraie, b est fausse ainsi que c.

Ok, Merci ^^
Que dites vous de 5 ??
(a-vrai;b-faux;c-vrai)

la b est aussi vraie, et ce nombre est 0.

Pour la partie reponse precise, 3) c'est plutot y appartient à [2,3] je pense n'est ce pas??

Ah oui, tu as raison, une faute de frappe ^^

Dijkschneier a écrit:

C'est cela, La volonté.
EDIT : Oups.. Je me rejoins à l'avis d'oussama1305 : la b est vraie.

Oui,il raison , nous n'avons pas fait attention

Pour la partie rédaction, 6 Un Vn sont définient sur IN et pas IN* n'est ce pas
?

pour la partie réponse précise: 10 Df=]-1,+00[ est ce que tu est d'accord?

Stp rassure toi bien de la question 11.