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 olympiade de mathematiques (1999/2000)

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the kiler
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MessageSujet: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 10:16






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achraf_djy
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 16:36

Salam!
Merci the kiler pour le partage!
Quelle est la question qui te parait la plus difficile?
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 19:03

Merçi 'the killer' pour votre partage.

Il y avait une error lors du deuxiéme epreuve, L'EX 2. C'est plutot n un nombre impair. CONTRE EXEMPLE: n=2 ne réalise pas l'énoncé.

Pour L'épreuve 3, EX 3 ça me fait rappele de l'EX 4 du dérniére phase de notre délgation Kénitra.

Pour l'EX 1 du deuxiéme Epreuve: Ca me fait rapelle à un EX de la collection d'exercises de geométrie, qui a posté Mr 'houssa' dans le forum de TC, c'est la méme chose.

Pour l'instant j'ai fais 3/4 de l'épreuve 1. 4/4 de l'épreuve 2. Je vous partage mes solutions peut-étre dans le plus prochain délai.

Merçi.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 19:15

M.Marjani a écrit:

Il y avait une error lors du deuxiéme epreuve, L'EX 2. C'est plutot n un nombre impair. CONTRE EXEMPLE: n=2 ne réalise pas l'énoncé.
Une fois pour toutes : on dit erreur.
Maintenant, n=2 n'est pas un contre-exemple. La proposition est vraie pour tout entier naturel.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 20:11

Dijkschneier a écrit:
M.Marjani a écrit:

Il y avait une error lors du deuxiéme epreuve, L'EX 2. C'est plutot n un nombre impair. CONTRE EXEMPLE: n=2 ne réalise pas l'énoncé.
Une fois pour toutes : on dit erreur.
Maintenant, n=2 n'est pas un contre-exemple. La proposition est vraie pour tout entier naturel.

Peut-étre, l'écriture n'est pas clair: tout d'abord est ce qu'il sagit de n/3 +n²/2 +n²/6 ou bien n/3 + n²/2 +n^3/6 ?

Pour moi j'ai travaillé n/3 +n²/2 +n²/6.
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nmo
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 20:19

achraf_djy a écrit:
Salam!
Merci the kiler pour le partage!
Quelle est la question qui te parait la plus difficile?
Le dernier exercice des pôlynomes qui me paraît difficile, et j'aime bien savoir la réponse.
Personellement, j'ai réussi à résoudre 9 exercices parmi 30.
Je présente mes réponses plus tard.
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achraf_djy
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 21:54

Salam tt le monde!
Pour cet exo c'est n/3 + n²/2 +(n^3)/6
et il faut montrer que ce nombre est un entier.
je propose une petite correction considérant cet exo:
On a:
n/3 + n²/2 +(n^3)/6 = n(n+1)(n+2)/6
On pose A=n(n+1)(n+2)
qq soit n dans IN: n=3k ou bien n=3k+1 ou bien n=3k+2 avec k appartient à IN
Si n=3k ===> A est divisible par 3
Si n=3k+1 ===> n+2=3(k+1) donc A est divisible par 3
Si n=3k+2 ====> n+1=3(k+1) donc A est divisible par 3

Ainsi, qq soit n dans IN: n=2k ou bien n=2k+1 avec k appartient à IN
Si n=2k ===> A est divisible par 2
Si n=2k+1 ===> n+1=2(k+1) donc A est divisible par 2
Donc on tt cas A est divisible par 2 et 3, donc A est divisible par 6, d'ou qq soit n dans IN A/6 est un entier, CQFD.
Pour nmo je pense que on peut le montrer avec recurrence, je vais réfléchir.
Cordialement Med Achraf.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 22:35

nmo a écrit:

Le dernier exercice des pôlynomes qui me paraît difficile, et j'aime bien savoir la réponse.
Pas tant que ça, pas tant que ça... Il est bien clair qu'il faut utiliser la formule du binôme de Newton.
Épreuve 6, problème 4 :
Soient E l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à n et de même parité que n, et F l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à n et de parité différente de n.
P_n est est un polynôme si et seulement si le numérateur est un polynôme (car le dénominateur n'est pas fonction de l'indéterminée).

Composée de deux polynômes, donc polynôme.


Dernière édition par Dijkschneier le Mar 10 Aoû 2010, 23:01, édité 1 fois
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SaKuRa
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 22:43

achraf_djy a écrit:
Salam tt le monde!
Pour cet exo c'est n/3 + n²/2 +(n^3)/6
et il faut montrer que ce nombre est un entier.
je propose une petite correction considérant cet exo:
On a:
n/3 + n²/2 +(n^3)/6 = n(n+1)(n+2)/6
On pose A=n(n+1)(n+2)
qq soit n dans IN: n=3k ou bien n=3k+1 ou bien n=3k+2 avec k appartient à IN
Si n=3k ===> A est divisible par 3
Si n=3k+1 ===> n+2=3(k+1) donc A est divisible par 3
Si n=3k+2 ====> n+1=3(k+1) donc A est divisible par 3

Ainsi, qq soit n dans IN: n=2k ou bien n=2k+1 avec k appartient à IN
Si n=2k ===> A est divisible par 2
Si n=2k+1 ===> n+1=2(k+1) donc A est divisible par 2
Donc on tt cas A est divisible par 2 et 3, donc A est divisible par 6, d'ou qq soit n dans IN A/6 est un entier, CQFD.
Pour nmo je pense que on peut le montrer avec recurrence, je vais réfléchir.
Cordialement Med Achraf.

Salut! Je pense que tu n'avais pas besoin de tout ça.
Tu peux démontrer que n(n+1)(n+2) est divisible par 6 comme suit :
On sait que le produit de 2 nombres consécutifs est pair.
Donc n(n+1) est un nombre pair, et par conséquent n(n+1)(n+2) l'est aussi.
On sait que le produit de 3 nombres consécutifs est divisible par 3, car l'un des nombres est forcément divisible par 3.
Et puisque A est divisible par 2 et 3, il est donc divisible par 6.
Donc A/6 est un entier.
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achraf_djy
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 22:49

Oui Sakura mais c'est bien de donner une demonstration Wink
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SaKuRa
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 22:54

Oué! Je suis d'accord avec toi Smile
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 23:19

Épreuve 5, problème 2 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF. Pour x=y, il vient xf(x)[f(x)-1]=0. Par conséquent, pour tout réel x non nul, f(x)=0 ou f(x)=1. Supposons qu'il existe un réel non nul c tel que f(c)=1. Pour y=c, il vient alors que x[f(x)-1]=0, i.e, f(x)=1 pour tout réel non nul. Dans le cas contraire f(x)=0 pour tout réel non nul.
Par conséquent, f appartient à l'ensemble des fonctions et où k varie sur IR.
Inversement maintenant :
vérifie clairement l'EF pour tous x et y (nuls ou non nuls) car tout s'annule.
vérifie clairement l'EF pour x et y non nuls. Pour x non nul et y nul, cela équivaut à xk[f(x)-1]=0, ce qui est vrai car f(x)=1 (car x est non nul). Pour x et y nuls, c'est vrai car tout s'annule.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 23:35

Épreuve 1, problème 2 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF. Pour x=y=0, il vient f(0)=0. Pour y=0, il vient f(x²)=f(x). Par récurrence, on prouve f(x^2^n)=f(x). Pour y=-x², il vient f(0)=f(x)+f(x^4), i.e., 2f(x)=0, f(x)=0.
Inversement, la fonction nulle vérifie clairement l'EF.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mar 10 Aoû 2010, 23:38

Épreuve 2, problème 4 :
L'inégalité est équivalente à (a+b)(a²+b²-ab+1)>=ab. Selon l'IAG, on a a+b>=2sqrt(ab) et a²+b²-ab+1>=ab+1>=2sqrt(ab).
Par produit, on déduit l'inégalité escompté.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 00:35

achraf_djy a écrit:
Salam tt le monde!
Pour cet exo c'est n/3 + n²/2 +(n^3)/6
et il faut montrer que ce nombre est un entier.
je propose une petite correction considérant cet exo:
On a:
n/3 + n²/2 +(n^3)/6 = n(n+1)(n+2)/6
On pose A=n(n+1)(n+2)
qq soit n dans IN: n=3k ou bien n=3k+1 ou bien n=3k+2 avec k appartient à IN
Si n=3k ===> A est divisible par 3
Si n=3k+1 ===> n+2=3(k+1) donc A est divisible par 3
Si n=3k+2 ====> n+1=3(k+1) donc A est divisible par 3

Ainsi, qq soit n dans IN: n=2k ou bien n=2k+1 avec k appartient à IN
Si n=2k ===> A est divisible par 2
Si n=2k+1 ===> n+1=2(k+1) donc A est divisible par 2
Donc on tt cas A est divisible par 2 et 3, donc A est divisible par 6, d'ou qq soit n dans IN A/6 est un entier, CQFD.
Pour nmo je pense que on peut le montrer avec recurrence, je vais réfléchir.
Cordialement Med Achraf.

Bonsoir Achraf,

Hmmm.. donc j'ai inventé un EX xDD [Si n est un entier naturel impair, donc montrez que n/3+n²(1/2+1/6) £ IN ]

Bon, pour la Solution de l'exercise2 Epreuve2:

D'abord on a: n/3 + n²/2 +n^3/6=n(n²+3n+2)/6=n(n+1)(n+2)/6

Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6. D'ou n/3 + n²/2 +n^3/6 £ IN.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 08:52

M.Marjani a écrit:

Hmmm.. donc j'ai inventé un EX xDD [Si n est un entier naturel impair, donc montrez que n/3+n²(1/2+1/6) £ IN ]
Inventer, c'est vite dit. "votre ex" est faux : prenez n=5.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 09:21

Épreuve 1, problème 1 :
On lève la première égalité au carré, on obtient : x-x² + y-y² + 2sqrt((xy)²+xy-x^3-y^3) = 1.
L'expression qui est dans la racine est exactement celle qui figure dans la deuxième égalité : on la remplace donc par sa valeur. Cela implique que x-x²+y-y²+1/2 = 1, ou encore que (x-1/2)² + (y-1/2)²=0, ce qui veut dire que x=y=1/2.
Mais inversement, le couple (1/2 , 1/2) ne vérifie le système.
Conclusion : l'ensemble des solutions du système est l'ensemble vide.


Dernière édition par Dijkschneier le Mer 11 Aoû 2010, 09:57, édité 1 fois
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 09:47

Dijkschneier a écrit:
Épreuve 1, problème 1 :
On lève la première égalité au carré, on obtient : x-x² + y-y² + 2sqrt((xy)²+xy-x^3-y^3) = 1.
L'expression qui est dans la racine est exactement celle qui figure dans la deuxième égalité : on la remplace donc par sa valeur. Cela implique que x-x²+y-y²+1/2 = 1, ou encore que (x-1/2)² + (y-1/2)²=0, ce qui veut dire que x=y=1/2.
Inversement, le couple (1/2 , 1/2) vérifie le système.

Tout est faux. Desolé.
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tarask
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 09:49

je crois qu'il faut préciser le domaine de définition d'abord Very Happy
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achraf_djy
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 09:54

Salam!
épreuve 1, question3:
On a:
0<a1+a2<=a3 et 0<a4+a5<=a6
Donc:
(a1+a2)(a4+a5)<=a3a6
Aussi (sqrt(a1a5)-sqrt(a2a4))²>=0 ===> a1a5+a2a4>=2sqrt(a1a4a2a5)
Donc:
a1a4+a2a5+2sqrt(a1a4a2a5)<=a3a6
d'où:
(sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5))²<=a3a6
==>sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5)<=sqrt(a3a6)
CQFD.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 09:59

M.Marjani a écrit:
Tout est faux. Desolé.
Furieux ?
Je ne pense pas que "tout soit faux". Le dernier passage seulement était effectivement faux. Merci pour ta vigilance. C'est corrigé.
tarask a écrit:
je crois qu'il faut préciser le domaine de définition d'abord
Je doute fort que ce soit utile.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 10:02

tarask a écrit:
je crois qu'il faut préciser le domaine de définition d'abord Very Happy

C'est bien parler Tarask Wink

Ma Solution: Exercise 1 Epreuve 1:

Tout d'abord il faut remarquer que le domaine de définition est atteint pour: y>=x² et x>=y².

* Et revanant à notre systéme, et élavant la premiére equation au carré : y+x²+x+y²+2V(xy-y^3-x^3+x²y²)=1, donc 2V(xy-y^3-x^3+(xy)²)=1-(y+x²+x+y²). (1)
* Tout d'abord il faut remarquer par Df que V(y-x²)(x-y²)=V(x²y²-x^3-y^3+xy)>=0 et revenant à la deuxiéme equation du systéme, V(x²y²-x^3-y^3+xy)=1/4 (2)
* En remplaçant dans (2) dans (1), donc 1-(y+x²+x+y²)=1 qui implique y+x²+x+y²=0 , or y>=x²>=0 et x>=y²>=0 donc la solution de cette equation est eteinte pour x=y=x²=y²=0.
* En remarque que cette solution ne réalise pas le systéme, donc S={Ensemble vide}

EDIT: Il s'agit de l'épreuve 4
EDIT: C'est l'épreuve 1 plutot, pardon..


Dernière édition par M.Marjani le Sam 04 Sep 2010, 14:02, édité 2 fois
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 10:11

achraf_djy a écrit:
Salam!
épreuve 1, question3:
On a:
0<a1+a2<=a3 et 0<a4+a5<=a6
Donc:
(a1+a2)(a4+a5)<=a3a6
Aussi (sqrt(a1a5)-sqrt(a2a4))²>=0 ===> a1a5+a2a4>=2sqrt(a1a4a2a5)
Donc:
a1a4+a2a5+2sqrt(a1a4a2a5)<=a3a6
d'où:
(sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5))²<=a3a6
==>sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5)<=sqrt(a3a6)
CQFD.
Épreuve 1, problème 3 :
Bien. Réductible néanmoins en une seule ligne avec CS :
sqrt(a1a4) + sqrt(a2a5) <= sqrt((a1 + a2)(a4 + a5)) <= sqrt(a3a6)
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 10:14

Ma Solution: Exercise 2 Epreuve 1:

On veut détérminer toutes les fonctions de IR --> IR tel que f(x²+y)=f(x)+f(y²) ==> (A)

* D'abord on fixe x sur 0, donc f(y)=f(y²) ==> (1). Et posant x=y dans l'equation fonctionnel donc f(x²+x)=2f(x)=2f(x²) ==> (2).
* Par (A) on a f(x+x)=f(x²)+f(x)=2f(x) ==> (3) doc 2f(x²+y)=f(2(x²+y))=f(x)+f(y²)=f(V2x)+f(4y²) ==> (B)
* Dans (B), fixant x sur 0, donc f(y²)=f(4y²), et par (3) on aura f(y²)=4f(y²) qui implique que f(y²)=f(y)=0
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Mer 11 Aoû 2010, 10:29

@Dijksheiner: CS pour cette petite inégalité, c'est pire.

Ma Solution: Exercise 3 Epreuve 1:

* D'abord on a: a_1+a_2 =< a_3 et a_4+a_5 =< a_6, donc V(a3*a6)>=V((a1+a2)(a4+a5)=V(a1*a4+a1*a5+a2*a4+a2*a5)=A
* Donc il suffit de montrer que A>=V(a_1*a_4)+V(a_2*a_5):
On élivant au carré: (a_1*a_4+a_2*a_5)+(a_1*a_5+a_2*a_4)>= a_1*a_4+a_2*a_5+2V(a_1*a_2+a_4*a_5), en éliminant ce qui se répéte dans les deux cotés on aura: (a_1*a_5+a_2*a_4)>= 2V(a_1*a_2+a_4*a_5) Ce qui est juste par IAG.
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MessageSujet: Re: olympiade de mathematiques (1999/2000)   Aujourd'hui à 12:10

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