Eq.f + continuité !

Bonsoir

soit a de )0,1(:
trouver toutes les fonctions continues de R vers R vérifiant
1) f(0)=a
2) pour tout x de R f(x)-f(ax)=x

Bonne chance

salut

f(x) = f(ax) + x

f(ax) = f(a²x) + ax ==> f(x) = f(a²x) + x(a+1)

par reccurence on va trouver

f(x) = f(a^nx) + x(a^(n-1) + .... + 1) = f(a^n x) + x (1-a^n)/(1-a)

passons à la limite et par la continuité de f on trouve

f(x) = f(0) + x/(1-a) = a + x/(1-a)

donc la fonction c f(x) = (1/1-a) x + a
récéproquement la fonction verifié l'equation fonct.

wagshall a écrit:

salut

f(x) = f(ax) + x

f(ax) = f(a²x) + ax ==> f(x) = f(a²x) + x(a+1)

par reccurence on va trouver

f(x) = f(a^nx) + x(a^(n-1) + .... + 1) = f(a^n x) + x (1-a^n)/(1-a)

passons à la limite et par la continuité de f on trouve

f(x) = f(0) + x/(1-a) = a + x/(1-a)

donc la fonction c f(x) = (1/1-a) x + a
récéproquement la fonction verifié l'equation fonct.

G pas compris cela.

red11 a écrit:

wagshall a écrit:

salut


f(x) = f(a^nx) + x(a^(n-1) + .... + 1) = f(a^n x) + x (1-a^n)/(1-a)

passons à la limite et par la continuité de f on trouve

f(x) = f(0) + x/(1-a) = a + x/(1-a)

donc la fonction c f(x) = (1/1-a) x + a
récéproquement la fonction verifié l'equation fonct.

G pas compris cela.

puisque a est compris entre 0 et 1 , donc (a^n) tends vers 0 lorsque n tends vers l'infini or f(0)=a

y-a-ss-i-n-e a écrit:

red11 a écrit:

wagshall a écrit:

salut


f(x) = f(a^nx) + x(a^(n-1) + .... + 1) = f(a^n x) + x (1-a^n)/(1-a)

passons à la limite et par la continuité de f on trouve

f(x) = f(0) + x/(1-a) = a + x/(1-a)

donc la fonction c f(x) = (1/1-a) x + a
récéproquement la fonction verifié l'equation fonct.

G pas compris cela.

puisque a est compris entre 0 et 1 , donc (a^n) tends vers 0 lorsque n tends vers l'infini or f(0)=a

mais nous avons pas n tend vers l'infinie!