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 Raisonnement par récurrence:

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Popsy-Maths
Habitué


Féminin Nombre de messages : 24
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MessageSujet: Raisonnement par récurrence:   Dim 17 Oct 2010, 16:26

Bonjour! J'ai rencontré quelques difficultés en travaillant un exercice de raisonnement par récurrence(الترجع), et je voudrais savoir si quelqu'un avait quelques idées pour le résoudre. Voilà, on a:

Soit x£ IN étoile. On a: Pn(x)=nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1
Pour tout x appartenant à IR.

1. Démontrer que Pn(x) est un multiple de (x-1)²
2. Déduire que pour chaque x appartenant à IN étoile, le nombre (4^n) (3n-1) + 1 est un multiple de 9


P.S: Pour ce qui est de la première question j'ai trouvé que c'était correct pour n=1, mais pour n+1, j'ai essayé, sans trouver de résultats satisfaisants. Sad
le signe ^ désigne "à la puissance"

Merci d'avance. Neutral
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Dijkschneier
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Masculin Nombre de messages : 1482
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MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Dim 17 Oct 2010, 17:37

Bah...
1.
P(n) :
P(n+1) :
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http://dijkschneier.freehostia.com
amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Dim 17 Oct 2010, 20:16

pour 2)
on a d'après 1) p_n(x)=9k , k£Z
x=4 ==> p_n(4)=9k <==> n4^(n+1)-(n+1)4^n + 1=9k
<==>4^n(4n-(n+1))+1=9k <=>4^n(3n-1)+1=9k ou k£Z cqfd
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amazigh-tisffola
Expert grade1


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Age : 32
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Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Dim 17 Oct 2010, 20:32

pour 2)
on peut aussi montrer que 9 devise 4^n(3n-1)+1
on montrons que 4^n(3n-1)+1=0[9] (la congruence 0 modulo 9)
4^n(3n-1)+1=1*(3n-1)+1 [9] car 4^n=1[9]
4^n(3n-1)+1=3n-1+1=3n=0[9] ==>9/4^n(3n-1)+1

ps:c'est d'arithmétiques dans Z
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Dim 17 Oct 2010, 20:55

Ma Solution:

1/ Pour n=1 ==> Pn(1)=(x-1)²|(x-1)² ==> juste. On suppose que Pn(x) est juste. Pour P(n+1)(x):
* n*x^{n+2}+x^{n+2}-(n+1)*x^{n+1}-x^{n+1}+1 = x(n*x^{n+1}-x(n+1)x^n)+1+x^{n+1}*(x-1)
= x(k(x-1)²-1)+1+x^{n+1}*(x-1) = x*k(x-1)²+(x-1)(x^{n+1}-1) = (x-1)²*[xk+(x^{n+1}-1)÷(x-1)]
Façile de montrer que: x^{n+1}-1=k'*(x-1) , k'£ IN*. Donc P(n+1)(x) juste, d'ou P(n)(x) est juste.


2/ Déducation de la premiére question. (x-1)² dévise nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1=x^n(nx-n+1)
Fixer x=4 ==> (4-1)²=9 dévise 4^n(4n-n+1)=4^n(3n+1).


Dernière édition par M.Marjani le Lun 18 Oct 2010, 00:36, édité 1 fois (Raison : Mélange de x par n ...)
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Popsy-Maths
Habitué


Féminin Nombre de messages : 24
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Date d'inscription : 16/10/2010

MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Lun 18 Oct 2010, 00:23

Merci infiniment, quoique pour la question 1, j'ai encore quelques petits problèmes... pale
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Bison_Fûté
Expert sup


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Date d'inscription : 11/02/2007

MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Lun 18 Oct 2010, 09:10

Popsy-Maths a écrit:
Merci infiniment, quoique pour la question 1, j'ai encore quelques petits problèmes... pale


BJR Popsy-Maths !!

Bon ! Celà ne me parait pas difficile si tu pouvais vérifier cette égalité :

Pn+1(x)=x.{Pn(x) + (x^n - 1)).(x-1)} + (x-1)^2
ensuite tu écriras que :
x^n - 1=(x-1).{1+x+x^2+ ...... + x^(n-1)}

et enfin tu brancheras ta Démo Par Récurrence à l'Aise !!!

Amicalement . LHASSANE
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hajar.imo
Habitué


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Date d'inscription : 21/05/2010

MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Lun 18 Oct 2010, 13:51

slt tu peux scanner l exos ou le reecrire d une encor plus clair car je trouve que c est interresant
merci d avance
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MessageSujet: Re: Raisonnement par récurrence:   Aujourd'hui à 23:10

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