Raisonnement par récurrence:

Bonjour! J'ai rencontré quelques difficultés en travaillant un exercice de raisonnement par récurrence(الترجع), et je voudrais savoir si quelqu'un avait quelques idées pour le résoudre. Voilà, on a:

Soit x£ IN étoile. On a: Pn(x)=nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1
Pour tout x appartenant à IR.

1. Démontrer que Pn(x) est un multiple de (x-1)²
2. Déduire que pour chaque x appartenant à IN étoile, le nombre (4^n) (3n-1) + 1 est un multiple de 9


P.S: Pour ce qui est de la première question j'ai trouvé que c'était correct pour n=1, mais pour n+1, j'ai essayé, sans trouver de résultats satisfaisants.
le signe ^ désigne "à la puissance"

Merci d'avance.

Bah...
1.
P(n) :
P(n+1) :

pour 2)
on a d'après 1) p_n(x)=9k , k£Z
x=4 ==> p_n(4)=9k <==> n4^(n+1)-(n+1)4^n + 1=9k
<==>4^n(4n-(n+1))+1=9k <=>4^n(3n-1)+1=9k ou k£Z cqfd

pour 2)
on peut aussi montrer que 9 devise 4^n(3n-1)+1
on montrons que 4^n(3n-1)+1=0[9] (la congruence 0 modulo 9)
4^n(3n-1)+1=1*(3n-1)+1 [9] car 4^n=1[9]
4^n(3n-1)+1=3n-1+1=3n=0[9] ==>9/4^n(3n-1)+1

ps:c'est d'arithmétiques dans Z

Ma Solution:

1/ Pour n=1 ==> Pn(1)=(x-1)²|(x-1)² ==> juste. On suppose que Pn(x) est juste. Pour P(n+1)(x):
* n*x^{n+2}+x^{n+2}-(n+1)*x^{n+1}-x^{n+1}+1 = x(n*x^{n+1}-x(n+1)x^n)+1+x^{n+1}*(x-1)
= x(k(x-1)²-1)+1+x^{n+1}*(x-1) = x*k(x-1)²+(x-1)(x^{n+1}-1) = (x-1)²*[xk+(x^{n+1}-1)÷(x-1)]
Façile de montrer que: x^{n+1}-1=k'*(x-1) , k'£ IN*. Donc P(n+1)(x) juste, d'ou P(n)(x) est juste.

2/ Déducation de la premiére question. (x-1)² dévise nx^(n+1) - (n+1)x^n + 1=x^n(nx-n+1)
Fixer x=4 ==> (4-1)²=9 dévise 4^n(4n-n+1)=4^n(3n+1).

Merci infiniment, quoique pour la question 1, j'ai encore quelques petits problèmes...

Popsy-Maths a écrit:

Merci infiniment, quoique pour la question 1, j'ai encore quelques petits problèmes...

BJR Popsy-Maths !!

Bon ! Celà ne me parait pas difficile si tu pouvais vérifier cette égalité :

Pn+1(x)=x.{Pn(x) + (x^n - 1)).(x-1)} + (x-1)^2
ensuite tu écriras que :
x^n - 1=(x-1).{1+x+x^2+ ...... + x^(n-1)}

et enfin tu brancheras ta Démo Par Récurrence à l'Aise !!!

Amicalement . LHASSANE

slt tu peux scanner l exos ou le reecrire d une encor plus clair car je trouve que c est interresant
merci d avance