Primitive

Bonsoir

Pouvez vous m'aider a chercher la primitive de la fraction :

cosx / (1+cosx)

MERCI

salam:

par un changement du variable:

tu pose :t=tan(x/2) ==>x/2 = arctan(t) ==>x=2arctan(t) ==>dx=2/(1+t^2) dt

cos(x)=cos(2*x/2)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=cos^2(x/2) - (1-cos^2(x/2))

comme on a :cos^2(x/2)=1/(1+tan(x/2))=1/(1+t^2)

==>cos(x)=1/(1+t^2) -(1-1/(1+t^2))=2/(1+t^2) - 1 =(1-t^2)/(1+t^2)


donc: int(cosx / (1+cosx))dx = int((1-t^2)/(1+t^2)/(1+(1-t^2)/(1+t^2)) *2/(1+t^2) dt

on simplifiant : int((1-t^2)/(1+t^2))dt


==>int(cosx / (1+cosx))dx = int((1-t^2)/(1+t^2))dt

tanmirt


ps:int= intégrale sans précisé les bornes ==>primitive qui n'est unique .

j'ai utilisé la fonction réciproque arctan sur l'intervalle de bijection .

Bonjour,

On a: cosx /(1+ cosx)=( (1+ cosx) - 1 )/(1+ cosx) = 1 - 1/(1+cosx) = 1 - 1/2.cos^2(x/2) .

Donc : cosx/(1+ cosx)= ( x - tan(x/2))' .

Par suite une primitive de la fonction f définie par f(x)=cosx/(1+cosx) sur un intervalle inclus dans Df est la fonction F définie par :
F(x) = x - tan(x/2) .

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