SUITES

EXERCICE 1 :
(Un) définie par son premier terme U1 tel que 0<U1<1

Quelque soit n appartenant à IN* ; Un+1 = (Un)/(Vn²+Un) edit: la racine sur tout le dénominateur

1- démontrez que Quelquesoit n appartenant à IN* 0<Un<1
2-Etudiez l'ordre de la suite Un
3- Démontrez que quelquesoit n appartenant à IN* ; Un+1 < Un/n
4- Déduire que : quelque soit n appartenant à IN* ; quelque soit p appartenant à IN*; n>=p
Un=<1/[p(p+1)...(n-2)(n-1)]
5- déduire que : quelquesoit n appartenant à IN* ; n>=2 ; Un=< 1 / (n-1)

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EXERCICE 2 : Un est une suite définit comme ceci :
U0 = 1 ; 4Un+1 = 2aUn + 1 - a / tel que a est un nombre réel

Calculez U1 ; U2 en fonction de a
Démontrez que U0 , U1 , U2 dans cet ordre sont des termes premiers d'une suite arithmétique si et seulement si : a²-5a+6=0

On suppose que a = 4 et on pose pour tout n appartenant à IN / Vn=Un - 3/4
Démontrez que Vn est une suite géométrique de raison q = 2
Calculez Sn en fonction de n tel que
Sn=V0+V1+..+Vn
Calculez Vn puis Un en fonction de n

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EXERCICE 3 : Soit Un une suite définie comme ceci : QLQ soit n appartenant à IN: Un=[2+(-1)^n x n] / [n+1]

On pose Vn=U2n ( indice 2n) et Wn=U2n+1 ( indice 2n+1) pour tout n dans IN

Etudiez l'ordre de Vn puis démontrez que : -1<Vn=<2 pour tout n dans IN
Etudiez l'ordre de Wn puis démontrez que : pour tout n dans IN -1<Wn=<1/2
Est ce que la suite Un est majorée ? ou minorée?


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EXERCICE 4 : pour tout n dans IN* on pose :
Sn= 1/(1x3) + 1/(2x5) + 1 / (3x7) + ... + 1 / [n(2n+1)]

Démontrez que
1/2Sn = 1 - [ 1/(n+1) +...+1/(2n+1)]
Remarque : 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)

Démontrez que qlq soit n appartenant à IN* ; 0<1/2Sn=< 1 - [(n+1)/(2n+1)]
Déduire que Sn(n appartenant à IN*) est bornée.

Exercice 3 :

Vn = U(2n) = [2+(-1)^(2n) * 2n] / ( 2n+1 ) = (2+2n) / 2n +1

Etudions l'ordre : V(n+1) - V(n) = [2+2(n+1) / 2(n+1) +1 ] - (2+2n) / 2n+1
= 4+2n / (2n + 3) - 2+2n / (2n+1 )
= -2/(2n+3)(2n+1) < 0
Donc Vn est décroissante .

Montrons que :
1<Vn=<2 pour tout n dans IN
on a 2n+2 > 2n +1
avec n >0 donc (2n+2)/(2n+1) > 1
Vn - 2 = (2+2n)/(2n+1) -2
= -2n/(2n+1) < 0
donc Vn < 2


Wn = U(2n+1) = [ 2 + (-1)^2n+1 * (2n+1) ] / 2n+2 = (1-2n)/2n+2

Etudions l'ordre : W(n+1) - W(n) = 1-2(n+1)/2(n+1)+2] - (1-2n)/2n+2
= -6/(2n+4)(2n+2) < 0
Donc Wn est décroissante

Démontrons que : pour tout n dans IN -1<Wn=<1/2
Wn + 1 = 1-2n/(2n+2) + 1
= 3/(2n+2) > 0
Wn - 1/2 = ( 1-2n)/(2n+2) - 1/2
= -6n/2(2n+2) < 0

Vn = Un pour tout n zawji
et Wn = Un pour tout n fardi
donc quelque soit n de IN je pense que Un est minorée par -1 et majorée par 2 .
-1 < Un < 2