Quatrième olympiade de première [4 mars 2011]

Exercice 1 :
Trouver tous les entiers strictement positifs n tels que :
-2^0 + 2^1 - 2^2 + 2^3 - 2^4 + ... - (-2)^n = 4^0 + 4^1 + 4^2 + ... + 4^(2010)
Exercice 2 :
Un entier a été retiré de l'ensemble S={1,2,3,...,n} des entiers naturels de 1 à n. La moyenne des autres entiers restants de S est égale à 163/4. Quel entier a été retiré ?
Exercice 3 :
En divisant un entier m par un entier naturel n (0<n<=100) un élève trouve m/n = 0,167a1a2...
Montrer que l'élève s'est trompé dans le calcul
Exercice 4 :
Soient (Gamma1) et (Gamma2) deux cercles qui se coupent en deux points A et B et (Delta) une droite variable passant par A et coupe le cercle (Gamma1) en P1 et le cercle (Gamma2) en P2.
Montrer que la médiatrice du segment [P1P2] passe par un point fixe.

j'ai passe le troisieme olympiade et je ne passé pas le quatrieme . ca normal ?
le directeur me dit qu'il n'a pas aucune information a partir de la ministre !!!!

Solution au problème 1 :
Le côté gauche est l'opposé de la somme des termes d'une progression géométrique de raison (-2), il est donc égal à :

De même, le côté droit est la somme des termes d'une progression géométrique de raison 4, il est donc égal à :

L'équation est donc équivalente à : (-2)^(n+1) = 4^2011 = 2^(2*2011)
Si n est pair, alors n+1 est impair et on n'a pas de solution.
Si n est impair, alors n+1 est pair et l'équation est équivalente à n+1=2*2011, ce qui donne n=4021.
Synthèse :
La seule solution est n=4021.
Solution au problème 2 :
Nommons a l'entier retiré.
On nous donne que la moyenne vaut 163/4.
Or, cette moyenne est aussi égale à :
Ainsi : , ce qui donne : , ou encore : .
Par une étude de congruences modulo 4, on montre que pour que a soit effectivement entier, il est nécessaire que n soit congru à 1 modulo 4.
Maintenant, puisque a est compris entre 1 et n, on a :
Ce qui donne après une résolution lente et monotone (avec des deltas et compagnie) que 79,5 <= n <= 81,5
Puisque n est entier, il peut donc soit être égal à 80, soit à 81. Mais puisqu'il est congru à 1 modulo 4, il est égal à 81.
En reportant, cela donne a=61.
Solution au problème 3 :
Supposons en guise de contradiction qu'il existe des entiers naturels m et n tels que 0<n<=100 et m/n = 0,167a1a2...
En multipliant par 1000, il vient : 1000m/n = 167,a1a2...
Mais puisque 167 <= 167,a1a2... < 168, il vient 167n <= 1000m < 168n (*)
Nous allons montrer que (*) est impossible, ce qui impliquerait la contradiction désirée.
Puisque 167n <= 1000m, alors n <= E((1000/167)m), où E(x) est la fonction partie entière.
L'idée est de montrer qu'alors on a nécessairement 168n <=1000m, ce qui apporterait la contradiction désirée.
Nous allons montrer par récurrence sur m que pour tout m de IN : n <= E((1000/167)m) ====> 168n < 1000m
L'initialisation de la récurrence se fait simplement.
Supposons que cette propriété est vraie au rang m, et montrons qu'elle l'est aussi au rang m+1.
Soit n<= E((1000/167)(m+1)). Puisque E((1000/167)(m+1)) = E((1000/167)m + 1000/167) <= E((1000/167)m) + E(1000/167) + 1 = E((1000/167)m) + 6, alors n-6 <= E((1000/167)m). Suivant l'hypothèse de récurrence, on a alors : 168(n-6) < 1000m, ce qui donne 168n < 1000m + 168.6 = 1000m+1000 + 8 = 1000(m+1) + 8.
Or, l'objectif est de démontrer que 168n < 1000(m+1). Il faut donc montrer qu'on ne peut pas avoir 168n = 1000(m+1) + r, où r appartient à {0,1,2,3,...,7}, ce qui est équivalent à r = 8(21n - 125(m+1)). Si c'était vrai, cela impliquerait que r=0 (r est multiple de 8 et compris entre 0 et 7), et donc que 21n=125(m+1), et donc que n est un multiple de 125. Mais n ne peut pas être multiple de 125 car il est compris entre 1 et 100.
Par suite : 168n < 1000(m+1), et la récurrence s'achève, et la preuve ensuite.

Seul le quatrième exo comporte un certain interêt , les autres sont limite des exos .

Pour la troisième solution, j'ai démontré qu'un nombre rationnel avait toujours une écriture décimale périodique. Qu'en pensez-vous ?

Pouvez-vous détailler dans l'étude la congruence modulo 4 dans le 2ème exo SVP ?

Exercice1:
On a:
Donc
En revenant à la première égalité on a
Donc
Donc
Enfin

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 2 :
Nommons a l'entier retiré.
On nous donne que la moyenne vaut 163/4.
Or, cette moyenne est aussi égale à :
Ainsi : , ce qui donne : , ou encore : .
Par une étude de congruences modulo 4, on montre que pour que a soit effectivement entier, il est nécessaire que n soit congru à 1 modulo 4.
Maintenant, puisque a est compris entre 1 et n, on a :
Ce qui donne après une résolution lente et monotone (avec des deltas et compagnie) que 79,5 <= n <= 81,5
Puisque n est entier, il peut donc soit être égal à 80, soit à 81. Mais puisqu'il est congru à 1 modulo 4, il est égal à 81.
En reportant, cela donne a=61.

Pourquoi as-tu choisi de faire la moyenne arithmétique?
Il se peut qu'il s'agit de la moyenne géométrique, quadratique, ou harmonique.

Il se trouve qu'usuellement, lorsqu'on dit "moyenne", on fait davantage référence à la moyenne arithmétique.
Mais tu as raison de poser la question (je me suis moi même interrogé sur cela au départ).

Pour le 2 une solution plus simple est la suivante :
2n(n+1)-4a=163(n-1) <==> 2n²-4a+2=161(n-1)
or 1=<a=<n==> 2(n-1)²=<2(n²-2a+1)=<2(n-1)(n+1)
<==> n-1=<161/2=<(n+1)

Sporovitch a écrit:

Pour le 2 une solution plus simple est la suivante :
2n(n+1)-4a=163(n-1) <==> 2n²-4a+2=161(n-1)
or 1=<a=<n==> 2(n-1)²=<2(n²-2a+1)=<2(n-1)(n+1)
<==> n-1=<161/2=<(n+1)

En effet joli solution moins ennuyeuse que la mienne qui de plus contenait une faute de calcul hh

L'écriture 0,167a1a2... est bien non périodique ?
Cela suffirait pour prouver que ça ne peut être un nombre rationnel.

pour le dezieme exo
k Appartient à N
Nous avons
SIGNIFIER
SIGNIFIER
SIGNIFIER

L'équation est acceptée solution seul, parce que n est connu appartient N
Alors DELTA=0
SIGNIFIER
SIGNIFIER
et nous avons
SIGNIFIER

Ceci est faux, car
Permission. soit Soit pas supprimer nombre OU Ont été supprimés de plus que UN nombre

c'est faux

POURQUOI

Pour le 4 eme exercice qui peut proposer une solution ? C'est le plus dur ..

Pour le 4 eme exercice qui peut proposer une solution ? C'est le plus dur ..

yasserito a écrit:

c'est faux

Aussi la réponse de louis est érronée.

C'est faux !

EST CE QUE MA REPONS EST FAUX

Oui ! 1+2+3 + ...n -k alors que t'as déJa retirer k il ne faut mettre n(n+1)-2k

c'est sur ki t'as dit qu'il ya un seul cas de n il peut etre qu'il en a deux cas qui donnent la meme moyenne et c'est le cas n=80 ou n=81 mais l'un ne satisfait pas K £ IN.
amicelement

Bensouda a écrit:

Pour le 4 eme exercice qui peut proposer une solution ? C'est le plus dur ..

Si je ne me suis pas trompé, le point cherché est le point E tel que:
Soit la droite parallèle à la droite passant par les deux centres, ainsi E appartient à cette droite et tel que .
Ce n'est qu'une remarque, à vérifier.

no
et fais la Normalisation de la place

EST CE QUE MA REPONS EST FAUX
Y at-il quelqu'un ici