Notre olympiade :D

EXO 1
soit a et b de IR*+
prouvez que (a+1/b)(b+1/a)>=4
EXO 2
trouvez les valeur de x selon les valeur de m tels que
x²+m[x]=x [x] c'est valeur absolu
EXO3
on enleve un nombre de 1 ,2,3,4.....,101 la moyenne est 50.11 es-que cela est possible
EXO4
un élève a divisé un nombre entier naturelle sur 97 et il a trouvé 0.167.... es-qu'il a fait une faute ?
EXO5
soit ABC un triangle tel que AB=1 BC=2 A=<pi/3 es-que BC=<racine(3)

Pourriez vous réécrire l'énoncé du dernier exo ?

soit ABC un triangle tel que AB=1 BC=2
l'angle BAC=<60
es-que BC=<racine de(3)

BC=2 BC=<racine de(3) ????????

AC=2 x)

J'ai pas bien compris l'énoncé car je crois que tous les élèves ont déjà étudié le produit scalaire, donc Al Kashi nous mène directement au résultat ?
BC²=AB²+AC²-2AB.AC.cosÂ

oué c'est ca

Les autres exos sont triviaux et faciles et faisables .....

c'est un olympiade faisable d’ailleurs j'ai fait les 5 exos

Exo 1
Inegalité de Cauchy ou développez et utiliser x+(1/x)>=2

Exo2
1) x>=0 -> |x|=x
x²+mx-x=0
x²+x(m-1)=0
Delta = (m-1)² Soit V(Delta)=V(m-1)²=|m-1|. Discuter en fonction de m la valeur de V(Delta) et donner les valeurs de x en fonction de m tout en prenant en considération la condition 1)
2) x<0 -> |x|=-x
x²-mx-x=0
x²+x(-m-1)=0
Delta = (-m-1)²=(m+1)² Soit V(Delta)=V(m+1)²=|m+1|. Discuter et donner les valeurs de x en fonction de m tout en prenant en considération la condition 2)

Exo3
Ce n'est pas possible.

Exo4
Soit n l'entier naturel tel que :
n/97=0,167... soit (1000n)/97=167,...
Donc 167<1000n/97<168
16199<1000n<16296
16,199<n<16,296
Il n'existe pas d'entiers compris entre 16,199 et 16,296.
D'où l'inexistence d'un tel entier n!
Ainsi l'élève a fait une faute!

Voilà pour la partie Algebre-Numerique.!

pr l'exo 2 et exo 3
il faut précisez un peux plus sinon sinon le reste est bon

J'ai passé le meme olympiades Hier , pr le 1er exercice , jai cru kils nous on demandé de demontré ke a et b sont superieur a zero , donc je lai pas faii -.- mais jai lé fais a la maison -.- bref :
(a+1/b)(b+1/a)-4= [(ab+1)/b][(ba+1)/a)] -4=(ab+1)²/ab-4=[ a²b²-2ab+1-4ab]/ab =(ab-1)²/ab
axb >0 et (ab-1)>0 donc le tt é >0 c ki fé (a+1/b)(b+1/a)>4
Ex 2 :
j fé comme Nayssi mais je croi ke c fo , car ils te demandent , selon les valeurs de M . =s
Ex 3 :
J'ai calculer le tt , c ki te donne 5151 . j enlever le plus grand nombre ki é 101 , puis jé divisé par 100 c ki donne 50.5 . é puiske jé enlever le plus grand nombre , c'est a dire ke 50.5 c la plus petite moyenne , donc c pa possible davoir 50.11
Ex 4 :
dapré leleve x/97 = 0,167 donc x=0,167 x 97 =16,199 ki né pa un nombre entié é le nombre le plu proche ki é 16 si on le divise par 97 sa donne 0,164... donc ils sé trompé d calcul
Ex 5 :
Je lai pas fé , et j pa encor trouvé la solutionn

Merci de donner votre avis =)

Svp donnez vos avis si c juste ou faux , jen ai besoin ^^

Spoiler:

le nombre 0.167.... n'est pas fini ca veut dire reste qq nombres!sous formes 0.167abc... et je crois que le reste est juste (je crois...)
amicalement

pr exo 3 c'est 140 qui est > 100 c'est impossible
sinon pr exo
j'ai discuté selon x>0 et x<0 ,es-que cela est juste ???(j'en doute beaucoup)

Non c'est pas juste , Moi ocii j'ai fais la meme chose , mais l'ex te demande selan les valeurs de M :s :s

ah et pour lexo 3 ma methode oci est juste ^^

Exo:5
On utilise Algachi ca donne BC< /3
apres on utilise almoutafawita lmoutalatia:
donc BC est compris entre 1et /3 tout kat3ane

Pour exo 3:
d'après gauss:(1+n)(n/2)
donc m=5151
pouis 50.11*100=5011
5151-5011=140>101
Impossiple

Alumene c koi algachi ?

Il voulait dire le theoreme d'Al-Kachi! Je détaille:
Exo 5
D'après le theoreme d'Al-Kachi:
BC²=AC²+AB²-2.AC.AB.cos Â
BC²=1+2²-2.1.2.cos Â
BC²=5-4.cos Â
On a: Â < pi/3
Donc: cos  > 1/2 (Utiliser cercle trigo. ou décroissance fonction cos sur [0;pi/2] )
Ainsi: BC²< 5-4*(1/2)
Soit : BC²<3
D'où: BC<V(3)

Pour le 2 ma solution est juste (je pense) !! Peux-tu me montrer l'erreur????

dsl nayssi mai ta demonstration est fausse ! A < pi sur 3 alors cos A > 1/2
mai la solution reste BC < racine de 3
POUr la question 2
x^2+m|x| =x
apre que vs auriez les solution m-1 et 1-m et 0
vs avez po fini vs devriez ecrire
quan 1-m>0 veu dire m<1 alors quan m<1 la solution est m-1 ect..

Faute de frappe!!! J'édite !

amigo-06
j'ai encadrer m et j'ai trouver m>1 dans le premier cas et m<-1 dans me deuxième mais j'ai encore un doute

Voilà ma solution complète de l'exo 2
Exo 2
x²+m|x|-x=0

On remarque que pour tout m, 0 est solution.

1) x>=0, |x|=x
Ainsi x²+mx-x=0
x²+x(m-1)=0
x[x+(m-1)]=0
Soit x=0 OU x=1-m
Or x>=0 soit 1-m>=0, m<=1
Pour m<=1, x=1-m ; x=0 sont solutions


2) x<=0, |x|=-x
Ainsi x²-mx-x=0
x²-x(m+1)=0
x[x-(m+1)]=0
Soit x=0 OU x=m+1
Or x<=0 soit m+1<=0, m<=-1
Pour m<=-1, x=m+1 ; x=0 sont solutions


Conclusion:
Pour m<=-1, S={0;m+1;1-m}
Pour -1<m<=1, S={0;1-m}
Pour m>1, S={0}