Demande d'aide

Salut amis matheux,


Peut quelqu'un m'aider à résoudre cet exo : (exercice 11 - page 2 ) de cette série :

http://sefroumaths.voila.net/1.sm/exercices/02logique.fr.pdf


Que peut on dire des nombres réels a et b si :

ce que j'ai pu constater c'est que a et b ne peuvent po être des entier naturel
démonstration :
les inégalité sont équivalente a na-1=<nb=<na+1
Si a et b sont de n alors na-1=<nb implique na<nb d'ou a<b
et nb=<na+1 implique nb<na d'ou b<a absurde ce qui finit la démonstration
BTW
félicitation pr les lions de l'atlas

je crois que c'est faux na-1=<nb n'implique pas que na<nb.. de meme pour l'autre..

nb=<na+1 ----> na+1>=nb -----> na+1>nb+1----> a>b

na et nb ne sont pas forcement des entiers pr passer de < A+1 à =<A
on peut par contre dire que la différence -1/n =<b-a=<1/n (quelque soit n entier non nul)
d’après le théorème des gendarmes on peut conclure que a=b.

j'avais supposer que a et b dans IN*² et n appartiens a IN*
donc na et nb sont des entier
et c'est quoi le théorème des gendarmes

Quand l'énoncé stipule que a et b sont des nombres réels on ne peut se limiter au entiers par exemple, le théorème des gendarmes saute aux yeux, en d'autres termes faire tendre n vers l'infini on trouve que a=<b=<a d'où a=b.

-1/n =<b-a=<1/n ==> |b-a|=< 1/n < ε ce qui implique |b-a|=0 donc a=b

Pour que vous comprenez mieu le theoreme de gendarme
en effet ca consiste sur cela :
Si un voleur est cerné entre deux gendarmes , alors si les deux gendarmes partent a la brigade le voleur aussi ...
j'espere que vous avez compri , c bien logique !!

Mais cela drapres ce que je sais est en ce qui concerne les limites !! pour cet exo je crois que c comme ce qu'a fait kaj mima , l a-b l < ou egale a 1/n , nous donne la-bl=0 , et c juste parce qu'on a Le quantificateur universelle , C ce que j'ai compri !!

kaj mima :-1/n =<b-a=<1/n ==> |b-a|=< 1/n < ce qui implique |b-a|=0 donc a=b
je pense que cela est vrai si et seulement si a et b sont des entiers naturels.

Non pas forcement ici c'est pour tout N, c'est à dire que pour tout rayon 1/n alors a est proche de b, ceci n'est vrai que si a=b. La notion de limite est basé sur les mêmes conceptions.

boubou math a écrit:

kaj mima :-1/n =<b-a=<1/n ==> |b-a|=< 1/n < ce qui implique |b-a|=0 donc a=b
je pense que cela est vrai si et seulement si a et b sont des entiers naturels.

Non cela est vrai même pour tout a et b de R ...
Où tu trouves exactement le doute, sinon y a-t-il un contre-exemple?

Salut, je ne comprend pas le passage : |b-a|=< 1/n < ce qui implique |b-a|=0 ?

kaj mima a écrit:

boubou math a écrit:

kaj mima :-1/n =<b-a=<1/n ==> |b-a|=< 1/n < ce qui implique |b-a|=0 donc a=b
je pense que cela est vrai si et seulement si a et b sont des entiers naturels.

Non cela est vrai même pour tout a et b de R ...
Où tu trouves exactement le doute, sinon y a-t-il un contre-exemple?

beh oui y'en a , prend n=1 ca donne l a-b l < ou egale a 1 , prend a egale a zero et b egale a 1/2 , ca sui la condition mais a n'egale pas b



En effet voici ma solution :
Supposons que a est differente de b ,
donc on peut dire que a > b ou a < b
si b>a on a 0< b-a < ou egale a 1/n
donc 0< n(b-a) <ou egale a 1
donc 0<n<ou egale a 1/b-a
ce qui donne la contradiction puis qu'on a n quelconque de N , donc il ne peut pas etre inferieur a un nombre bien preci , parce qu'il ya toujours un n de N supperieur a la valeur du RHS
CQFD , sauf faute
en effet le QUANTIFICATEUR UNIVERSELLE A UN TRES GRAND ROLE !!

Misterayyoub a écrit:

kaj mima a écrit:

boubou math a écrit:

kaj mima : ==> |b-a|=< 1/n < ce qui implique |b-a|=0 donc a=b
je pense que cela est vrai si et seulement si a et b sont des entiers naturels.

Non cela est vrai même pour tout a et b de R ...
Où tu trouves exactement le doute, sinon y a-t-il un contre-exemple?

beh oui y'en a , prend n=1 ca donne l a-b l < ou egale a 1 , prend a egale a zero et b egale a 1/2 , ca sui la condition mais a n'egale pas b

Non, ce n'est pas comme ça que ça marche, tu n'as pas bien compris l'énoncé...
on a pour tout n de N*, il faut que -1/n =<b-a=<1/n ,
Toi tu as pris juste un n(1)=1/2 de N, mais pas tout n de N tu vois...c'est à dire si je prends n=10^(1000)
Est-ce que ta réponse demeure juste? Bien évidemment non, donc la seule solution c'est celle de a=b...

ali-mes a écrit:

Salut, je ne comprend pas le passage : |b-a|=< 1/n < ce qui implique |b-a|=0 ?

On a |b-a|=< 1/n pour tout n de N*

|b-a|=< 1/n
Posons: |b-a|= x et 1/n < ε on a donc x<ε avec ε ∊ R* (puisque n ∊ N*)

Si x<ε donc x=0 (x appartient à R+), Et voici la démonstration par l'absurde :
On suppose que x ≠ 0 et on démontre sa fausseté:
x ≠ 0 : on pose ε= x/2 alors x<ε ==> x<x/2 ==> x/2 <0 ==> x<0
Or on a x ∊ R+ : Contradiction
Donc ce qu'on a supposé est faux, alors x=o

On revient à notre exercice principal, en remplaçant, on a : |b-a|=< 1/n ==> |b-a|=0 ==> a=b
Et voilà,
amicalement

kaj mima a écrit:

Misterayyoub a écrit:

kaj mima a écrit:

boubou math a écrit:

kaj mima : ==> |b-a|=< 1/n < ce qui implique |b-a|=0 donc a=b
je pense que cela est vrai si et seulement si a et b sont des entiers naturels.

Non cela est vrai même pour tout a et b de R ...
Où tu trouves exactement le doute, sinon y a-t-il un contre-exemple?

beh oui y'en a , prend n=1 ca donne l a-b l < ou egale a 1 , prend a egale a zero et b egale a 1/2 , ca sui la condition mais a n'egale pas b

Non, ce n'est pas comme ça que ça marche, tu n'as pas bien compris l'énoncé...
on a pour tout n de N*, il faut que -1/n =<b-a=<1/n ,
Toi tu as pris juste un n(1)=1/2 de N, mais pas tout n de N tu vois...c'est à dire si je prends n=10^(1000)
Est-ce que ta réponse demeure juste? Bien évidemment non, donc la seule solution c'est celle de a=b...

C'etait juste pour te donner la contradiction , parce que ton raisonnement qui precedait etait faux !! ,
et puis j'ai demontré par absurde que a=b , lis bien ce que j'ai ecri !!
la solution que tu vas de poster reste juste aussi
amicalement

Misterayyoub a écrit:

C'etait juste pour te donner la contradiction , parce que ton raisonnement qui precedait etait faux !! ,
et puis j'ai demontré par absurde que a=b , lis bien ce que j'ai ecri !!
la solution que tu vas de poster reste juste aussi
amicalement

Ce n'était pas une contradiction! J'avais expliqué pourquoi. Et puis ce que j'avais écrit précédemment n'était pas faux non plus, c'était juste la réponse de l'exercice...
Mais d'après ma constatation, je pouvais clairement conclure que je devais passer à la démonstration originale...Voilà J'espère que c'est clair maintenant.

Misterayyoub a écrit:

beh oui y'en a , prend n=1 ca donne l a-b l < ou egale a 1 , prend a egale a zero et b egale a 1/2 , ca sui la condition mais a n'egale pas b

J'insiste encore ici que ce n'est pas une contradiction, car on n'a pas le droit de prendre juste une valeur de n et de ne se baser que sur cette valeur pour trouver la contradiction ...car cette inégalité est juste quoique ce soit la valeur de n, et ceci n'est vérifié que par a=b...(c'est à dire si on cherche une contradiction, ça va être au niveau des valeurs de a et b, et non de n, donc ce qu'on cherchait était de déterminer la relation entre a et b tel que quoique ce soit la valeur de n, on obtient une inégalité qui est juste )