Marathon d'Oraux

D={z€C/|z|=<1} et U={z€C/|z|=1}
Soit Z={z€D/f(z)=z}, par hypothèse U c Z et Z est fermé.
Si on montre que Z est ouvert dans D alors, par connexité de D, on aura Z=D.

Soit (z_n) une suite de D\Z qui converge vers un z€D. Montrer que z€D\Z

Problème 8 :
Trouver toutes les fonctions f : R --> R+ continues telles que pour tout x de R :

f(0)=0 et f est croissante positive ==> f(x)=0 pour tout x=<0

Soit Z={x€R+/ f(x)=0}
Si Z est non majoré, qqs x>0 il existe y€Z : y>x ==> f(x)=0. Alors f=0
Si Z est majoré, soit a=sup Z ==> f=0 sur [0,a] et f >0 sur ]a,+00[ i.e Z=[0,a]

On a qqs x>a, f'(x)/2Vf(x)=2 ==> Vf(x)=2x+c pour tout x>a
par continuité, 2a+c=0 ==> c=-2a
==> f(x)=4(x-a)²

Résumé: les solutions du problème sont:
f=0 ou f(x)=4(x-a)² si x>a et f nulle ailleurs pour un certain a>=0