Une autre petite question pour nos amis matheux

Salut à tous,

J'étais entrain de lire un e-book traitant les inégalités, Et quand je suis arrivé à la démonstration de l'inégalité arithmétiquo géométrique (avec n nombres ) je me suis bloqué, car ils ont utilisé une récurrence, mais pas normale (P_n implique P_n+1 ou P_n-1 implique P_n comme laquelle on peut trouver dans le cour de la logique), mais ils ont utilisé ces implications:

* P_n implique P_n-1 et * P_n implique P_2n

J'aimerais bien savoir si cela nous permet de déduire ce qu'on veut démontrer par récurrence ?

Et si quelqu'un peut montrer l'IAG avec l'utilisation de la récurrence normale ?


Merci d'avances pour vos réponses.

Pas de réponses ?

ali-mes a écrit:

J'aimerais bien savoir si cela nous permet de déduire ce qu'on veut démontrer par récurrence ?

La réponse est bel et bien "oui", de plus:

Wikipédia a écrit:

Dans son livre sur la fonction gamma, le mathématicien Emil Artin propose un principe de récurrence qui s'adapte bien au cas où la propriété se démontre facilement pour les puissances de 2. Son énoncé est le suivant:

Citation :

Soit P(n) une propriété définie sur N :
-si P(1),
-si pour tout n ∈ N, P(n) ⇒ P(2n),
-et si pour tout n ∈ N, P(n+1) ⇒ P(n),
alors, pour tout entier n ∈ N, P(n).

L'originalité de ce principe repose sur un principe de récurrence à rebours : on ne prouve plus une propriété de n à n+1 mais de n+1 à n en y adjoignant que si la propriété est vraie d'un entier alors elle est vraie pour un entier strictement plus grand. Ce qui donne une preuve de la propriété sur tous les entiers en zigzag.

Au plaisir.

nmo a écrit:

ali-mes a écrit:

J'aimerais bien savoir si cela nous permet de déduire ce qu'on veut démontrer par récurrence ?

La réponse est bel et bien "oui", de plus:

Wikipédia a écrit:

Dans son livre sur la fonction gamma, le mathématicien Emil Artin propose un principe de récurrence qui s'adapte bien au cas où la propriété se démontre facilement pour les puissances de 2. Son énoncé est le suivant:

Citation :

Soit P(n) une propriété définie sur N :
-si P(1),
-si pour tout n ∈ N, P(n) ⇒ P(2n),
-et si pour tout n ∈ N, P(n+1) ⇒ P(n),
alors, pour tout entier n ∈ N, P(n).

L'originalité de ce principe repose sur un principe de récurrence à rebours : on ne prouve plus une propriété de n à n+1 mais de n+1 à n en y adjoignant que si la propriété est vraie d'un entier alors elle est vraie pour un entier strictement plus grand. Ce qui donne une preuve de la propriété sur tous les entiers en zigzag.

Au plaisir.

Merci énormément pour votre réponse nmo,

je vais lire soigneusement l'article de wikipédia concernant le raisonnement par récurrence.