Préparation à la première SM (La logique)

1) Pour n=1 on a ce qui est vrai
Supposons que est montrons que
On a
Donc

2) Pour n=1 on a ce qui est vrai
Supposons que et montrons que
On a
Donc

3) Pour n=1 on a ce qui est vrai
Supposons que est montrons que
On a

4) Pour n=0 e 7 t divise 0
Donc c'est vraipour n=0
Supposons que est montrons que
On a


Donc

5) prenons n=0 on trouve -31 divise 11 et c'est faux

Soit P(n) : 2^n >= (n+2)².
Pour n=6, P(n) est vraie.
Montrons que P(n) => P(n+1) avec n>=6
2^(n+1)=2*(2^n)>2(n+2)²
De plus 2(n+2)²-(n+3)²=n²+2n-1=(n+1)²-1>=48>0
Ainsi 2(n+2)²>(n+3)². D'où l'hérédité.
Ainsi il existe x tel que (∀n>=x),2^n >= (n+3)².

Je donne des indices:

pour 2)- Remplacer dans (iii) x par x+n.

3)- Utiliser l'absurde.

4)- Utiliser le fait que tout rationnel strictement positif peut s'écrire sous la forme p/q avec p et q des entiers naturels (q non nul).

Et remplacer dans (2) x par p/q et n par q.

1)On a f(x+1)=f(x)+1
Donc
f(x+n)=f(x+n-1)+1
=f(x+n-2)+2
=f(x+n-3)+3
et puisque n £ IN
Donc il existe un nombre de IN qui est égal à n
Ainsi On conclut que f(x+n)= =f(x+n-n)+n=f(x)+n
(Cette methode n'est pas basée sur une demonstration précise..)

2) On veut prouver que f(x²+2nx)=f(x²)+2nf(x)

On a f(x²+2nx)=f(x²+2nx+n²)-n²=f(x+n)²-n²
=[f(x+n)-n] [f(x+n)+n]=f(x)²+2nf(x)

3) Si f est constante
Donc f(x)=f(x+1) D'ou f(x)+1=f(x+1)+1

Ce qui est contradiction car f(x)+1 et f(x) ne sont pas égaux
D'ou f n'est pas constante

4) On va trouver les fonctions f qui satisfont les condition

On remplace dans f(x²+2nx)=f(x²)+2nf(x)
x par 1/n
On a f(1/n²+2)=f(1/n²)+2nf(1/n)
Donc f(1/n)²+2 = f(1/n)²+2nf(1/n)
D'ou nf(1/n)=1 Ainsi f(1/n)=1/n
On pourrait dire que f est identique sur Q*+

Enfin, c'est ce que j'ai trouvé..