Equation fonctionnelle..

Salut !
quelque soit (x,y) appartient à IR trouvez tous les fonctions :
f(xy)=f(x)f(y)


Merci d'avance.

Salut f(xy)=f(x)f(y)
Supposons que x=y=0
<===> f(0)=f(0)²
<===>f(0)=0 où f(0)=1
supposons que y=0
<===> f(0)=f(x)f(0)
le cas où f(0)=0
0=0 c nul
le cas où f(0)=1
f(x)*1=1
f(x)=1 ^^
Lahouma Zidné 3ilmaaaaaaaa

f(x)=x est solution ossi :/

cette equation est tres classique dont les solutions sont : f(x)=x^a

f(x)=0 est solution aussi sans etre sous la forme x^a ^^

si f(a)=0 pour un a non nul ==> f(x)=f(a.x/a)=f(a)f(x/a)=0
==> f est l'application nulle ( c'est une solution)

supposons f non identiquement nulle
f(1)=f(1)² ===> f(1)=1
si x>0 ==> f(x)=f(Vx)²>0 . on pose alors g(x)= Ln(f(exp(x))) pour tout x dans R
g(x+y)=Ln(f(exp(x).exp(y)))=Ln(f(exp(x)).f(exp(y))) = Ln(f(exp(x)))+ Ln(f(exp(y)))=g(x)+g(y)
alors g vérifie l'équation de Cauchy
Avec une hypothèse ( par exemple g majorée sur un intervalle borné)
on sait que g(x)=µ.x
==> f(exp(x)) =exp(µ.x)
==> pour x>0, f(x)=x^µ
si x<0, f(x)f(-1)=f(-x)= (-x)^µ
mais f(-1)²=f(1)=1.
Donc qqs x dans R, f(x)=x^µ si x>=0 , f(-x)= c(-x)^µ si x<0 avec c²=1 et µ >=0
f(0)=0 par continuité

[






Alors là, j'explique. On posant des valeurs arbitraires pour n, l'on remarque que l'on a une valeur rapprochée de a plus précise. Plus n est grande, plus on s'approche du 2. C'par intuition que j'ai déduis la valeur de la limite, le calcul reste à faire.



Le passage aussi nécessite des explications. Entre x= 2^n et y =2^n+1, il y'a 2^n éléments, pareil pour a=f(2^n) et b=f(2^n+1), et puisque f est "strictement" croissante, on déduit que pour tout ces éléments compris entre x et y, se trouve une image comprise entre a et b. D'où f(x) = x.

Par récurrence inverse, on étend la relation sur Z. En remarquant que x*1/x = 1, on étend la relation sur Q.

Puisque Q est dense dans R\Q (cette notion reste à vérifier, mais je crois comprendre que l'unique passage entre Q et R, est un jeu de densité), on peut étendre la relation dans Q.

La solution assez sérieuse à démontrer est celle-ci. f(x) = x pour tout x dans R.

Sketshup a écrit:

Je pense qu'il y a une faute dans cette déduction; sinon, tu dois la justifier.

Oui Oui, j'ai un peu accéléré, j'ai senti^^

On prend f(2) = a.

f(2) < f(3) < f(4) <=> a < f(3) < a² <=> a^n < f(3)^n < a^2n

De même: [(3^n-1)/2)] x a < f(3^n) = f(3)^n < [(3^n + 1)/2] x a

on en déduit une double inégalité!!

(ça peut être faux, m'je crois que c'la bonne méthode, f'in, reste à vérifier)

Sketshup a écrit:

Oui Oui, j'ai un peu accéléré, j'ai senti^^
On prend f(2) = a.
f(2) < f(3) < f(4) <=> a < f(3) < a² <=> a^n < f(3)^n < a^2n  
De même: [(3^n-1)/2)] x a  < f(3^n) = f(3)^n < [(3^n + 1)/2] x a
on en déduit une double inégalité!!
(ça peut être faux, m'je crois que c'la bonne méthode, f'in, reste à vérifier)

Je ne trouve pas comment tu fais pour aboutir à ce qui est en rouge.
Même en prenant n=1, ton inégalité devient a<f(3)<2a qu'on ne peut pas y arriver en s'appuyant sur ce qui précède!

Il y a une infinite de solution :


2- et  

3-

 

Un développement?

je crois que
f(x)=0 et f(x)=1 pour tout x
f(x)=x^a pour tout x sont des solutions correctes...mais comment prouver la 2eme? ...