Une application

est-ce- qu'il existe une application f difinie de |R vers |R et to7a9i9 ces conditions:
quelque soit x appartenant à |R : f(1+f(x)) = 1- x
quelque soit x appartenant à |R f(f(x)) = x

nous avons f(f(x)) = x
remplaçons x par 1+f(x) alors fof(1+f(x))=1+f(x) => fof(1-x)=1+f(x) (1)
d'autre par on remplace x dans f(f(x)) = x par 1-x alors on trouve fof(1-x)=1-x (2)
de (1) et (2) on déduit que f(x)+1=1-x
ce qui fait f(x)=-x
qu'en pensez vous ? :S

c'est faux parce que si on remplace x par 2 l'application devient f(x)= f(2) = -2
alors f(f(x))= f(f(2)) = f(-2) = 2 =x la 1er condition est vérifié
mais f(1+f(x))= f(1+f(2)) = f(1-2) = f(-1) = 1 c'est faux (1-x = 1-2 = -1)

ben on a f(f(0))=0 alors en posant f(0)=a on a f(a)=0 alors pr x=a on a f(1)=1-a (1)
et pr x=0 on a f(1+a)=1
pr x=1+a on a f(f(1+a))=(1+a) alors f(1)=1+a (2)
de (1) et (2) on a a=0 alors f(0)=0 et f(1)=1
pr x=-1 on a f(f(-1))=-1 on posant b=f(-1) on a f(b)=-1
alors pr x=b on a f(1+f(b))=1-b alors f(0)=1-b ainsi b=1
alors f(1)=-1 et f(1)=1 (impossible car f est une application )
alors il n'existe aucune application f definie de |R vers |R et qui satisfait ces conditions:
quelque soit x appartenant à |R : f(1+f(x)) = 1- x
quelque soit x appartenant à |R f(f(x)) = x
sauf erreur.