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 Premier olympiade de première [2 décembre 2011]

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konica
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MessageSujet: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 19:10

Exercice 1 :
Résoudre le système suivant, où x,y et z sont des nombres réels.


Exercice 2 :
Déterminer toutes les fonctions qui vérifient la relation suivante: pour tous réels x et y; f(x²+f(y)) = y-x²

Exercice 3 :
Soient x et y deux nombres réels, strictement positifs, tels que x+y=1
a) Montrer l'inégalité suivante :
b) Pour quels valeurs de x et y l'égalité aura lieu?

Exercice 4 :
Soient ABCD un quadrilatère inscriptible. X et Y sont deux points appartenant respectivement aux diagonales [AC] et [BD] tel que le quadrilatère ABXY soit un parallélogramme.
Montrer que les deux cercles circonscrits respectivement aux triangles BXD et CYA ont le même rayon.


Dernière édition par konica le Ven 02 Déc 2011, 19:12, édité 1 fois
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A446
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 19:12

pour le premier c'est X=2 Y=2 Z=1 je crois
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konica
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 19:15

Ouais!
Le premier : (2;2;1)
Le deuxième : f(x)=-x
Le troisième :
a- Caushy-Schwartz.
b- x=y=1/2
Le quatrième : Loi des sinus.


Dernière édition par konica le Ven 02 Déc 2011, 19:20, édité 1 fois
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A446
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 19:16

.


Dernière édition par A446 le Ven 02 Déc 2011, 20:08, édité 1 fois
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 19:40

Solution au Problème 1:
Le système est définit si: .
On a:




.
Et on a: .

.
D'où l'ensemble des solutions: .

Solution au Problème 3:
a)- On a d'après l'inégalité de CS (sous la forme Engel): .
b)- Le cas d'égalité:
On a:





.

Solution au Problème 4:
Soit R le rayon du cercle circonscrit au triangle BXD, et R' le rayon du cercle circonscrit au triangle CYA.
.
On a: .
Donc le quadrilatère YXCD est inscriptible, d'où: .
Et puisque AY=BX (ABXY est un parallélogramme) on a: .
La loi des Sinus dans les triangle BXD et CYA nous donne: .
Le résultat en découle...

Pour le 2eme, je vais vous proposer ma réponse après.


Dernière édition par ali-mes le Sam 03 Déc 2011, 21:28, édité 2 fois
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boubou math
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 20:45

pour le 2 :
la fonction est belle est bien surjective , Si l'on pose f(y)=-x²
l'E.F devient f(0)=y+f(y) ---> f(y)=-y+f(0)
d'ou f et affine réciproquement toute fonction affine tel que f(x)=-x+c et solution avec c constante dans IR .


Dernière édition par boubou math le Dim 08 Avr 2012, 20:26, édité 2 fois
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 20:48

Pour le deusieme f(x) = -x +c sachant que c est une constance !! et pour le 3 eme c fesable sans utiliser shwartz on peut demontrer que ab<4 ...
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amigo-6
Maître


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Ven 02 Déc 2011, 20:49

Boubou math t es de quel ecole?
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konica
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Sam 03 Déc 2011, 12:25

amigo-6 a écrit:
Pour le deusieme f(x) = -x +c sachant que c est une constance !! et pour le 3 eme c fesable sans utiliser shwartz on peut demontrer que ab<4 ...

Tu veux dire ab=<1/4?

@Boubou maths : Le test était bel et bien difficile par rapport au premier test.
@Ali : La forme Engel?? Veux tu dire le Lemme de Titu?


Dernière édition par konica le Dim 04 Déc 2011, 16:28, édité 1 fois
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Sam 03 Déc 2011, 12:50

oui (y) ab=< 1/4
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Sam 03 Déc 2011, 13:47

Un test à la hauteur j'ai fais les trois premiers exos,


Dernière édition par Azerty1995 le Lun 20 Fév 2012, 19:31, édité 1 fois
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akliilias
Débutant


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Sam 03 Déc 2011, 20:14

Moi aussi j'ai passé les olympiades le premier exercice c'était donné (2,2,1)
pour le deuxiéme j'ai trouvé que f(x)=-X et je l'ai démontrer avec un démarche logique
le troisiéme j'ai fait la différence et je l'ai trouvée supérieur à 0 puisque (2x+1)^2>=0
pour le deuxiéme j'ai trouvé qu'un cas particulier et je crois que la bonne réponse est
f(x)=a-x mais comme même je n'ai sais pas comment il ont démontré et je ne suis pas d accord avec Boubou math quand il a pris f(y)=-x² cette relation ne se réalise que pour f(y)<=0
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Mehdi.O
Expert sup


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Sam 03 Déc 2011, 21:48

akliilias a écrit:
Moi aussi j'ai passé les olympiades le premier exercice c'était donné (2,2,1)
pour le deuxiéme j'ai trouvé que f(x)=-X et je l'ai démontrer avec un démarche logique
le troisiéme j'ai fait la différence et je l'ai trouvée supérieur à 0 puisque (2x+1)^2>=0
pour le deuxiéme j'ai trouvé qu'un cas particulier et je crois que la bonne réponse est
f(x)=a-x mais comme même je n'ai sais pas comment il ont démontré et je ne suis pas d accord avec Boubou math quand il a pris f(y)=-x² cette relation ne se réalise que pour f(y)<=0
Je vous présente ma solution pour l'EF :
Soit P(x,y) l'assertion f(x²+f(y))=y-x².
P(0,y) : f(f(y))=y => f(f(0))=0
P(x,f(0)) f(x²)=f(0)-x² d'où pr tt x de IR+ : f(x)=c-x ( où c=f(0))
Maintenant soit y <0 on fixe x t.q : x²>-f(y)
P(x,y) : c-(x²+f(y))=y-x² ce qui donne pr tt y de IR - : f(y)= c-y
Et ainsi on obtient la fonction f(x)=c-x pr tt x de IR\ c € IR ( réciproquement elle satisfait l'EF)
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Sam 03 Déc 2011, 22:13

Les gens ca vous dit de creer un nouveau sujet pour préparation olympiades (qu un gradé le fasse Svp) (y)
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achrafovic10
Féru


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Dim 04 Déc 2011, 10:08

j'ai pas pu résoudre le quatrième exo
pour le 2ème exo j'ai trouvé juste une solution f(x)=-x
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soufianeach
Débutant


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Dim 04 Déc 2011, 15:50

S'il vous plait , combien faut-il résoudre d'exercices pour se qualifier ? Smile
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konica
Maître


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Dim 04 Déc 2011, 16:26

Si je ne trompe pas, je crois deux exercices au moins dans un test. Soit 4 dans la première phase. Mais je ne suis sûr.
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sadaso
Maître


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Dim 04 Déc 2011, 21:58

Tout le monde est arrivé a résoudre deux exercices mais est ce que le shéma de géométrie compte pour des points ?
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Lun 05 Déc 2011, 12:47

salut a tous

voici une solution pour l'exo 4

http://www.naja7math.com/files/olymp1112_1sm_exerc4.pdf
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mathvic
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Mar 06 Déc 2011, 23:12

التمرين الاول
(2;2;1)
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hind nassri
Maître


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Dim 25 Déc 2011, 00:26

slt tout le monde
je veux savoir est ce qu 'ils ont donné les resutats des olympiades de 2 decembre 2011

de 1 ere année bac


et MERCI D'AVANCE
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lamperouge
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Lun 23 Jan 2012, 00:01

Reponse pour le deuxieme exercie
f(x²+f(y)) = y-x²
donc il existe un z£R tel que f(z)=0
on sibstituant y par z
on trouve que f(x²)=z-x²
d'ou: f(x)=z-x ou z est une constante reel
qui verifie bien l'enonce
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Lun 23 Jan 2012, 18:59

lamperouge a écrit:
Reponse pour le deuxieme exercie
f(x²+f(y)) = y-x²
donc il existe un z£R tel que f(z)=0
on sibstituant y par z
on trouve que f(x²)=z-x²
d'ou: f(x)=z-x
ou z est une constante reel
qui verifie bien l'enonce

Et si x £ IR- ???
Votre réponse est incomplète !
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medLh
Habitué


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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Dim 08 Avr 2012, 18:55

Désolé pour l'up de cet exercice trivial (2), mais je voudrais savoir où est la faute dans cette démarche
soit x,y>0 pour montrer que (3x-1)²/x + (3y-1)²/y >= 1 il suffit de montrer que (3x-1)²/x >= 1/2 et (3y-1)²/y
cqfd est : 9x²-6x+1>= x/2 <=> 9x²-(13/2)x+1 >=0 pour démontrer cela il faut montrer que p(x) = 9x²-(13/2)x+1 >= 0
Or delta n'est pas négative ..?
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Oty
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Dim 08 Avr 2012, 21:24

Bonsoir , @medlh , non il ne suffit pas de montrer que : (3x-1)²\x >= 0,5 , car on peut avoir un terme inférieur a 0,5 et l'autre supérieur a 0,5 de telle manière que la somme des deux termes est supérieur a 1 celons les valeurs que prend x et y , par exemple : pour une certaine valeur de x et y , le premier terme peut être égale a 1\3 < 0,5 et le second égale a ''bidule'' >0,5 ; tel que : 1\3 +'' bidule'' >= 1 .
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MessageSujet: Re: Premier olympiade de première [2 décembre 2011]   Aujourd'hui à 08:12

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Premier olympiade de première [2 décembre 2011]
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