Premier olympiade de première [2 décembre 2011]

Exercice 1 :
Résoudre le système suivant, où x,y et z sont des nombres réels.


Exercice 2 :
Déterminer toutes les fonctions qui vérifient la relation suivante: pour tous réels x et y; f(x²+f(y)) = y-x²

Exercice 3 :
Soient x et y deux nombres réels, strictement positifs, tels que x+y=1
a) Montrer l'inégalité suivante :
b) Pour quels valeurs de x et y l'égalité aura lieu?

Exercice 4 :
Soient ABCD un quadrilatère inscriptible. X et Y sont deux points appartenant respectivement aux diagonales [AC] et [BD] tel que le quadrilatère ABXY soit un parallélogramme.
Montrer que les deux cercles circonscrits respectivement aux triangles BXD et CYA ont le même rayon.

pour le premier c'est X=2 Y=2 Z=1 je crois

Ouais!
Le premier : (2;2;1)
Le deuxième : f(x)=-x
Le troisième :
a- Caushy-Schwartz.
b- x=y=1/2
Le quatrième : Loi des sinus.

.

Solution au Problème 1:
Le système est définit si: .
On a:




.
Et on a: .

.
D'où l'ensemble des solutions: .

Solution au Problème 3:
a)- On a d'après l'inégalité de CS (sous la forme Engel): .
b)- Le cas d'égalité:
On a:





.

Solution au Problème 4:
Soit R le rayon du cercle circonscrit au triangle BXD, et R' le rayon du cercle circonscrit au triangle CYA.
.
On a: .
Donc le quadrilatère YXCD est inscriptible, d'où: .
Et puisque AY=BX (ABXY est un parallélogramme) on a: .
La loi des Sinus dans les triangle BXD et CYA nous donne: .
Le résultat en découle...

Pour le 2eme, je vais vous proposer ma réponse après.

pour le 2 :
la fonction est belle est bien surjective , Si l'on pose f(y)=-x²
l'E.F devient f(0)=y+f(y) ---> f(y)=-y+f(0)
d'ou f et affine réciproquement toute fonction affine tel que f(x)=-x+c et solution avec c constante dans IR .

Pour le deusieme f(x) = -x +c sachant que c est une constance !! et pour le 3 eme c fesable sans utiliser shwartz on peut demontrer que ab<4 ...

Boubou math t es de quel ecole?

amigo-6 a écrit:

Pour le deusieme f(x) = -x +c sachant que c est une constance !! et pour le 3 eme c fesable sans utiliser shwartz on peut demontrer que ab<4 ...

Tu veux dire ab=<1/4?

@Boubou maths : Le test était bel et bien difficile par rapport au premier test.
@Ali : La forme Engel?? Veux tu dire le Lemme de Titu?

oui (y) ab=< 1/4

Un test à la hauteur j'ai fais les trois premiers exos,

Moi aussi j'ai passé les olympiades le premier exercice c'était donné (2,2,1)
pour le deuxiéme j'ai trouvé que f(x)=-X et je l'ai démontrer avec un démarche logique
le troisiéme j'ai fait la différence et je l'ai trouvée supérieur à 0 puisque (2x+1)^2>=0
pour le deuxiéme j'ai trouvé qu'un cas particulier et je crois que la bonne réponse est
f(x)=a-x mais comme même je n'ai sais pas comment il ont démontré et je ne suis pas d accord avec Boubou math quand il a pris f(y)=-x² cette relation ne se réalise que pour f(y)<=0

akliilias a écrit:

Moi aussi j'ai passé les olympiades le premier exercice c'était donné (2,2,1)
pour le deuxiéme j'ai trouvé que f(x)=-X et je l'ai démontrer avec un démarche logique
le troisiéme j'ai fait la différence et je l'ai trouvée supérieur à 0 puisque (2x+1)^2>=0
pour le deuxiéme j'ai trouvé qu'un cas particulier et je crois que la bonne réponse est
f(x)=a-x mais comme même je n'ai sais pas comment il ont démontré et je ne suis pas d accord avec Boubou math quand il a pris f(y)=-x² cette relation ne se réalise que pour f(y)<=0

Je vous présente ma solution pour l'EF :
Soit P(x,y) l'assertion f(x²+f(y))=y-x².
P(0,y) : f(f(y))=y => f(f(0))=0
P(x,f(0)) f(x²)=f(0)-x² d'où pr tt x de IR+ : f(x)=c-x ( où c=f(0))
Maintenant soit y <0 on fixe x t.q : x²>-f(y)
P(x,y) : c-(x²+f(y))=y-x² ce qui donne pr tt y de IR - : f(y)= c-y
Et ainsi on obtient la fonction f(x)=c-x pr tt x de IR\ c € IR ( réciproquement elle satisfait l'EF)

Les gens ca vous dit de creer un nouveau sujet pour préparation olympiades (qu un gradé le fasse Svp) (y)

j'ai pas pu résoudre le quatrième exo
pour le 2ème exo j'ai trouvé juste une solution f(x)=-x

S'il vous plait , combien faut-il résoudre d'exercices pour se qualifier ?

Si je ne trompe pas, je crois deux exercices au moins dans un test. Soit 4 dans la première phase. Mais je ne suis sûr.

Tout le monde est arrivé a résoudre deux exercices mais est ce que le shéma de géométrie compte pour des points ?

salut a tous

voici une solution pour l'exo 4

http://www.naja7math.com/files/olymp1112_1sm_exerc4.pdf

التمرين الاول
(2;2;1)

slt tout le monde
je veux savoir est ce qu 'ils ont donné les resutats des olympiades de 2 decembre 2011

de 1 ere année bac


et MERCI D'AVANCE

Reponse pour le deuxieme exercie
f(x²+f(y)) = y-x²
donc il existe un z£R tel que f(z)=0
on sibstituant y par z
on trouve que f(x²)=z-x²
d'ou: f(x)=z-x ou z est une constante reel
qui verifie bien l'enonce

lamperouge a écrit:

Reponse pour le deuxieme exercie
f(x²+f(y)) = y-x²
donc il existe un z£R tel que f(z)=0
on sibstituant y par z
on trouve que f(x²)=z-x²
d'ou: f(x)=z-x ou z est une constante reel
qui verifie bien l'enonce

Et si x £ IR- ???
Votre réponse est incomplète !

Désolé pour l'up de cet exercice trivial (2), mais je voudrais savoir où est la faute dans cette démarche
soit x,y>0 pour montrer que (3x-1)²/x + (3y-1)²/y >= 1 il suffit de montrer que (3x-1)²/x >= 1/2 et (3y-1)²/y
cqfd est : 9x²-6x+1>= x/2 <=> 9x²-(13/2)x+1 >=0 pour démontrer cela il faut montrer que p(x) = 9x²-(13/2)x+1 >= 0
Or delta n'est pas négative ..?

Bonsoir , @medlh , non il ne suffit pas de montrer que : (3x-1)²\x >= 0,5 , car on peut avoir un terme inférieur a 0,5 et l'autre supérieur a 0,5 de telle manière que la somme des deux termes est supérieur a 1 celons les valeurs que prend x et y , par exemple : pour une certaine valeur de x et y , le premier terme peut être égale a 1\3 < 0,5 et le second égale a ''bidule'' >0,5 ; tel que : 1\3 +'' bidule'' >= 1 .