Elément inversible vs. éléments regulier

Salut,
les deux notions cités dans le titre sont souvent confondus, alors j'aimerais en finir une fois pour toute.
Donnez moi votre avis sur les propositions suivantes :

Tout élément inversible est régulier.
Un élément régulier n'est pas forcement inversible : je crois que c'est juste mais je n'arrive pas à trouver un exemple.

Une autre proposition que j'ai déduit d'un exercice.
Si (E,T) un groupe, tel que E est un ensemble fini, alors tout élément régulier est inversible.
Démonstration :
Soit a un élément de E et soit x un élément régulier de E.
On considère la fonction f(indice a) de E vers E où tout élément x a pour image aTx.
f est injective car x est régulier. f de E dans E et E un ensemble fini. Don f est bijective.
Comme e (élément neutre ) est dans E alors e admet un unique antécédent par f.
Pour tout x, il existe un unique y dans E tel que xTy=e
De manière analogue, on prouve l'inversibilité à gauche.
Ma démonstration est-elle juste? J'attends votre réaction, ainsi qu'un exemple sur la deuxème proposition si vous l'avez, j'en ai vraiment besoin.
Merci.

Soit E un ensemble muni d'une lci (de neutre e)
Un élement x est dit inversible ssi Il existe x' dans E tel que x*x'=x'*x=e.
Un élement y est dit régulier ssi pour tout a,b dans E on a :y*a=y*b-->a=b.

-Si y est inversible alors ya=yb-->y'*(y*a)=y'*(y*b)-->a=b (en supposant * associative)
-Contre exemple de la réciproque : considère (Z,*) [lci, associative, de neutre 1]
2 n'est pas inversible mais : 2*x=2*y-->2(x-y)=0-->x=y

Si tu considères un groupe, les deux notions se confondent :
tout élement est inversible, et donc régulier!
par suite ta proposition est inutile (je le répète, tout les élements d'un groupe sont inversible et régulier)

PS: J'espère que je me suis pas trompé dans la définition d'un élement régulier, ça revient à longtemps.

remarque : tu as définis un élément régulier à gauche .
Remarquons aussi que dans un ensemble fini munit d'une loi de composition interne tout élément régulier est inversible ( je pense que c'est la remarque de Anas ) .
Amicalement .

Oui tu as raison darkpseudo concernant la régularité d'un élement, j'ai complétement oublié qu'il y avait la régularité à gauche et à droite. D'une manière géneral, je ne sais plus si l'inverse est différent : dans le sens où est ce qu'il faut aussi définir l'inversibilité à gauche et à droite.

Ta définition de l'inverse contient les deux .
En général si un élément admet un inverse à gauche et un inverse à droite alors c'est le même .

darkpseudo a écrit:

remarque : tu as définis un élément régulier à gauche .
Remarquons aussi que dans un ensemble fini munit d'une loi de composition interne tout élément régulier est inversible ( je pense que c'est la remarque de Anas ) .
Amicalement .

C'est ce dont je voulais m'assurer.
Merci beaucoup.

Je voulais parler d'un simple monoïde, non un groupe.