Inégalité

Soient a, b et c des réels positifs tel que abc=1. Montrer que:

Bon une tentative matinale pour cette coriace inégalité , espérant que je n'ai pas fais d’erreur , posant : a=x-1 , b=y-1 ,c=z-1 , l'inégalité est équivalent a : \sum (xy)^3+ 5(xyz)² >= (xyz)^3 . maintenant posant : r=xyz , t=x+y+z , p=xy+yz+xz , l'inégalité se transforme en : p^3-3prt+8r²>= r^3 (vrai ? ) , la condition s'écrit : r+t=2+p , Notons que : x,y,z >1 et de la condition on a 2+p-r=t>3 ainsi p>r+1>r (1) . on remplace t par 2+p-r dans l'inégo , celle ci revient a montrer que : p^3-6pr-3p²r+3pr²+8r²-r^3 >=0 . posons mnt f(p)=LHS on dérive par rapport a p on obtient : f'(p)=3(p²+r²-4r)>3[(r+1)²+r²-4r)=3[(r-1)²+r²]>0 d"ou f est strictement croissante , et puisque : p>r on a f(p)>f(r)=2r²>0 , ce qui permet de conclure ... (sauf erreur ) .

Bravo ! C'est juste

Merci Ali .

Oty a écrit:

Bon une tentative matinale pour cette coriace inégalité , espérant que je n'ai pas fais d’erreur , posant : a=x-1 , b=y-1 ,c=z-1 , l'inégalité est équivalent a : \sum (xy)^3+ 5(xyz)² >= (xyz)^3 . maintenant posant : r=xyz , t=x+y+z , p=xy+yz+xz , l'inégalité se transforme en : p^3-3prt+8r²>= r^3 (vrai ? ) , la condition s'écrit : r+t=2+p , Notons que : x,y,z >1 et de la condition on a 2+p-r=t>3 ainsi p>r+1>r (1) . on remplace t par 2+p-r dans l'inégo , celle ci revient a montrer que : p^3-6pr-3p²r+3pr²+8r²-r^3 >=0 . posons mnt f(p)=LHS on dérive par rapport a p on obtient : f'(p)=3(p²+r²-4r)>3[(r+1)²+r²-4r)=3[(r-1)²+r²]>0 d"ou f est strictement croissante , et puisque : p>r on a f(p)>f(r)=2r²>0 , ce qui permet de conclure ... (sauf erreur ) .

la dérivée est fausse elle doit donner f'(p)=3p²-6r-6pr+3r² (sauf erreur)

oui tu as raison , j'ai pas fais attention , lol je dois tout revoir mnt

Bon alors quitte a tout refaire : posons x=1\(a+1) i.e a=(1-x)\x ...... la condition s'ecrit xyz=(1-x)(1-y)(1-z) , avec biensur 0<x,y,z<1 , soit 2r+t=p+1 , notant que d'apres cette condition + AM-GM on a : t-1 <p < t²\3 . remplacant mnt "r" l"inégo est t^3-4t+3-(3t-4)p>=0 . si t =<1 , l'inégo est verifier car (3t-4)p<0 et t^3-4t+3=(1-t)(3-t²-t) > 0 . si 1<t <4\3 , t^3-4t+3-(3t-4)p>t^3-4t+3-(3t-4)(t-1)=(t-1)^3>0 . Finalement si t>4\3 ; LHS > t^3-4t+3-(3t-4)(t²\3) =1\3 (2t-3)² >0 . D'ou le resutlat .

bravo ta fini quand meme a la montrer

j'ai passé pas mal de temps avec elle , j'allais commeme pas abandonné a cause d'une faute de calcule .. Merci beaucoup