Aide:Equation

Resoudre dans R l'equation suivante :


E(x^2)=E(x)^2

S = l'ensemble Z

Sundial , Prends x= 1/2

Salut Alidos je ne crois pas que 1/2 appartient à Z.

sundial a écrit:

Salut Alidos je ne crois pas que 1/2 appartient à Z.

Et pourtant, il appartient à S!

J'ai suivis un petit raisonnement, x £ Z => E(x) = x donc E(x)²= x²
et x£Z => E(x²)=x² donc E(x²)=E(x)² pour tout x appartenant à Z, puis j'ai trouver des contres exemple pour IR inter Q inter D sans Z

nmo a écrit:

sundial a écrit:

Salut Alidos je ne crois pas que 1/2 appartient à Z.

Et pourtant, il appartient à S!

Ah donc j'ai pas bien compris, où est donc ma faute?

Sundial , et comme {1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/n .............} appartient a S ça veut dire que ta solution manque qlq chose

alidos a écrit:

Sundial , et comme {1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/n .............} appartient a S ça veut dire que ta solution manque qlq chose

Je devrais l'écrire sous-forme de S = {x / x£Z} ?

Finalement la solution est .. ?

[x²]=[x]² , on remplaçant x=[x]+t avec 0=<t<0 . dans le membre de gauche on obtient : [[x]²+2r[x]+r²]=[x]² soit [2t[x]+t²]=0 , car quelque soit y dans Z [y]=y . d'ou il suffit que 0=<2nt+t²< 1 ou n=[x], d'ou on a deux inéquation a résoudre : t(2n+t)>=0 implique n >=-t\2 d'ou n >=0 car n appartient a Z et 0=<t<1 . de l'autre inéquation on a : t(2n+t)<1 d'ou (n+t)²<n²+1 , ainsi : n²=<(n+t)²< n²+1 d'ou on n²=< x²< n²+1 d"ou n=< x < rac(n²+1) d'ou S=[n , V(n²+1)[ avec n dans Z+

je propose cette solution:
[x²]=[x]²
Posons x=k+r /r={x} et k=[x]
[x²]=k²
k²=<x²<k²+1
d'ou k=<x<v(k²+1) ou -V(k²+1)<x=<-k
On a clairement 0<V(k²+1)-k=<1
donc [k;V(k²+1)[ et ]-V(k²+1);-k] contiennent un entier maximum chacun
qui est surement k
donc pour le premier cas on aura [x]=k qui verifie bien l'equation
et pour le deuxieme cas on aura x=k (qui verifie l'equation) ou [x]=k-1(qui n'est po vrai du fait que [x]=k)
d'ou S=Z U [k;V(k²+1)[ /k£N

Edit.

si E(x²)=E(x)² et x>=0
==> E(x)>=0 et E(x)²=<x²< E(x)²+1
==> E(x)=<x<V( E(x)²+1) ==> x € U ([n, V(n²+1)[ : n€N)
Inversement,
Soit n€N et n=<x< V(n²+1) ==> n²=<x²<n²+1 et n=<x<n+1 car V(n²+1) =<n+1
==> E(x²)=n²=E(x)²

si E(x²)=E(x)² et x< 0
alors n=E(x)=<-1 et n=<x<n+1=<0 ==> (n+1)²<x²=<n²
Donc E(x²)=n² <==> x²=n² <==> x=n

Donc S= U ([n, V(n²+1)[ : n€N) U Z