Bonsoir,
Dans ce qui suit , & désignera le symbole de l'intersection de deux ensembles et € désignera le symbole d'appartenance d'un élément à un ensemble.
Supposons que f est injective et montrons que f(A & B)=f(A) & f(B).
- Montrons que f(A & B) est inclus dans f(A) & f(B) :
Soit y € f(A & B) , il existe donc x € A & B tel que f(x)=y. Donc x € A et x € B et y=f(x).
Donc y € f(A) et y € f(B). Par suite y € f(A) & f(B). Ce qui montre que f( A & B) est inclus dans f(A) & f(B).
-Montrons que f(A) & f(B) est inclus dans f(A & B):
Soit y € f(A) & f(B) , donc y € f(A) et y € f(B). Il existe donc x € A tel que f(x)=y et il existe x' € B tel que f(x')=y
Donc x € E , x' € E et f(x)=f(x') ( car A et B sont deux parties de E).
Or f est injective , donc x=x' , donc x € B . Par suite x € A & B et donc y € f( A & B). Ce qui montre que f(A) & f(B ) est inclus dans f(A&B).
En conclusion f(A&B)=f(A) & f(B).
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