Sigma

Maître Nombre de messages : 132 Age : 28 Date d'inscription : 08/09/2012

Montrer que, pour tous entiers naturels non nuls n, on a l'inégalité suivante:

[ Sigma(k=1 à n) (1/(n+k))^3 ] <= (1/n^2) * [ Sigma(k=1 à n) (1/(n+k)) ]

Expert grade2 Nombre de messages : 310 Age : 27 Date d'inscription : 10/10/2012

$Sigma Gif.latex?\sum_{k=1}^{n}%20\left%20(%20\frac{1}{n+k}%20\right%20)^3%20\leq%20\frac{1}{n^2}$

-Multiplication par n^3
-n(n+k) < 1 ..

Féru Nombre de messages : 47 Age : 37 Date d'inscription : 28/11/2012

Ou alors on peut montrer que (n+k)^3 > n²(n+k)

Comme (n+k)^3 = k^3+3 k^2 n+3 k n^2+n^3, alors (n+k)^3-n²(n+k) = k^3+3 k² n+3 k n²+n^3 - n^3-n²k = k^3+3k²+2kn²+n^3 > 0 car k, n > 0

» sigma
» sigma
» SIGMA
» sigma
» SIGMA