Base duale en dimension infinie:

Voici l'énoncé de l'exercice:
Soit l'ensemble des polynôme à une seule indéterminée muni de sa base canonique où: .
1-Montrer que le système dual défini par: , n'est pas une base duale de .
2-Montrer que est isomorphe à l’espace des suites à coefficients dans .
Bonne chance.

1- Il est clair que la famille (ei*)_i est libre dans E* mais elle n'est pas génératrice en effet :
Soit u la forme linéaire de E définie par u(ei)=i alors u dans E* et u n'est pas dans Vect(ei*)_i
Sinon u=somme(k=0 à n) ak.ek* avec les ak des scalaires
==> u(ej)=0=j pour j>n absurde

2-
Soit µ l'application de K^N dans E* définie par : µ((xk)_k) (ej)=xj pour tout j dans N.

µ est un morphisme d'ev : soit (xk)_k et (yk)_k dans K^N et a dans K. Pour tout j dans N,
µ((xk)_k+a.(yk)_k) (ej)= µ((xk+a.yk)_k) (ej)=xj+a.yj= (µ((xk)_k)+a.µ((xk)_k)(ej)
===> µ((xk)_k+a.(yk)_k)=µ((xk)_k)+a.µ((xk)_k)

Soit u dans E*, pour tout k, on pose xk=u(ek)
==> pour tout j, µ((xk)_k)(ej)=xj=u(ej) ===> µ((xk)_k)=u avec (xk)_k unique, donc µ bijectif