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 Un joli exo!!!

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Salahmaths
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MessageSujet: Un joli exo!!!   Ven 18 Avr 2014, 15:55

soit p et q deux entiers positifs non nuls. dont p+q=1
montrer que:
(1+1/p)(1+1/q)>=9


Dernière édition par Salahmaths le Ven 18 Avr 2014, 19:02, édité 1 fois
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Ven 18 Avr 2014, 17:03

cest plutot >= 9 Very Happy
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Amiral
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Ven 18 Avr 2014, 18:12

(1+1/p)(1+1/q)=1+1/p+1/q+1/pq
On sait déja que p+q>=2rac(pq)
<=>1>=2rac(pq)
<=> 1/pq>=4           (1)
d'une autre coté 1/p +1/q =(p+q)/pq=1/pq >=4 (2)


en sommant et on trouve le résultat 
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Salahmaths
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Ven 18 Avr 2014, 19:09

Oui C est correct .. mais je veux une autre solution en utilisant la dérivabilité. Smile
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L-W-P
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Ven 18 Avr 2014, 19:31

prends comme fonction
f(x)=(1+1/x)(1+1/(1-x))-9
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Amiral
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Ven 18 Avr 2014, 21:10

Considérons f(p)=(1+1/p)(1+1/(1-p)) 
Calculer f'(p) et tu trouveras que f'(p) >0 donc f est croissante 
et puisque p>=1/2 alors f(p)>=f(1/2) d'ou ...
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Ven 18 Avr 2014, 22:47

1/pq >=4 et application direste de CS
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L-W-P
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Sam 19 Avr 2014, 00:32

Amiral a écrit:
Considérons f(p)=(1+1/p)(1+1/(1-p)) 
Calculer f'(p) et tu trouveras que f'(p) >0 donc f est croissante 
et puisque p>=1/2 alors f(p)>=f(1/2) d'ou ...
tu a oublié le -9 la fonction est f(p)=(1+1/p)(1+1/(1-p)) -9
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Amiral
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Sam 19 Avr 2014, 12:11

L-W-P a écrit:
Amiral a écrit:
Considérons f(p)=(1+1/p)(1+1/(1-p)) 
Calculer f'(p) et tu trouveras que f'(p) >0 donc f est croissante 
et puisque p>=1/2 alors f(p)>=f(1/2) d'ou ...
tu a oublié le -9 la fonction est f(p)=(1+1/p)(1+1/(1-p)) -9

f(1/2)=9 donc on peut passer directement de calculer f'(p)  sans -9 
si l'on prend avc -9 alors on obtient de meme f'(x) >0  ,et puisque x>=1  alors f(x)>=f(1) donc f(x)>= -5 !!!!!! <=> (1+1/p)(1+1/q)>=4 !! Prblm Smile
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Amiral
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Sam 19 Avr 2014, 12:18

tu peux le vérifier et poster ta démarche compléte si tu veux Smile
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L-W-P
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Sam 19 Avr 2014, 12:45

Amiral a écrit:
L-W-P a écrit:
Amiral a écrit:
Considérons f(p)=(1+1/p)(1+1/(1-p)) 
Calculer f'(p) et tu trouveras que f'(p) >0 donc f est croissante 
et puisque p>=1/2 alors f(p)>=f(1/2) d'ou ...
tu a oublié le -9 la fonction est f(p)=(1+1/p)(1+1/(1-p)) -9

f(1/2)=9 donc on peut passer directement de calculer f'(p)  sans -9 
si l'on prend avc -9 alors on obtient de meme f'(x) >0  ,et puisque x>=1  alors f(x)>=f(1) donc f(x)>= -5 !!!!!! <=> (1+1/p)(1+1/q)>=4 !! Prblm Smile
1) p n'est pas nécessairement est supérieure ou égale à 2.
2) x n'est pas supérieure ou égale 1.



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Amiral
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Sam 19 Avr 2014, 13:10

oui c vrais la méthode est un peu illogique je pense , je vais essayer encore  rabbit
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L-W-P
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Sam 19 Avr 2014, 13:43

si tu veux bien la solution regarde le lien
http://mathsmaroc.jeun.fr/t20563-pour-vous#172301
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Amiral
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MessageSujet: Re: Un joli exo!!!   Sam 19 Avr 2014, 13:56

oui presque le meme Smile
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