connexe par arcs

Dans R² on considère l’ensemble A des points dont une coordonnée au moins est irrationnelle : A=R²\Q²
Montrer que A est connexe par arcs

Soit a , b ∈ A . Il existe une suite (xn) de Q²:  x0=0 et xn--->b-a  car Q² est dense dans R²

Soit f:[0,1] ---> A  l'arc continu  tel que
pour tout n, f(1/(n+1))=a+xn et f est affine sur[1/(n+2),1/(n+1)]

alors f(1)=a et f(0)=b

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit a , b ∈ A . Il existe une suite (xn) de Q²:  x0=0 et xn--->b-a  car Q² est dense dans R²

Soit f:[0,1] ---> A  l'arc continu  tel que
pour tout n, f(1/(n+1))=a+xn et f est affine sur[1/(n+2),1/(n+1)]

alors f(1)=a et f(0)=b

BSR A. Attioui

Il y aurait une Faute dans Ta Démo ....
Le segment de droite qui joint  les 2 points
a+x(n+1)  et a+x(n)
n'est pas forcément inclus dans A
On peut y rencontrer des points de QxQ

Amicalement . Lhassane

Oeil_de_Lynx a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit a , b ∈ A . Il existe une suite (xn) de Q²:  x0=0 et xn--->b-a  car Q² est dense dans R²

Soit f:[0,1] ---> A  l'arc continu  tel que
pour tout n, f(1/(n+1))=a+xn et f est affine sur[1/(n+2),1/(n+1)]

alors f(1)=a et f(0)=b

BSR A. Attioui

Il y aurait une Faute dans Ta Démo ....
Le segment de droite qui joint  les 2 points
a+x(n+1)  et a+x(n)
n'est pas forcément inclus dans A
On peut y rencontrer des points de QxQ

Amicalement . Lhassane

Merci pour la remarque judicieuse
Par densité, le choix de x(n) dans Q² est pris de telle sorte qu'on aura
[a+x(n+1), a+x(n)] c A

Une autre façon:
Soit B=(Q x R\Q) U (R\Q x Q) alors B est un convexe de R²
B C A  et B dense dans R² ==> A est connexe par arcs
Car A est coincé entre un convexe et son adhérence.

BJR A.Attioui

La construction sophistiquée de ta suite (xn)n  ajoutée au fait que les Sections
Si a est dans H alors A n {(x, y) dans IRxIR| x = a}={a}xIR
Si b est dans H alors A n {(x, y) dans RxIR| y = b}=IRx{b}
Sont en fait des droites parallèles aux axes des abscisses ou ordonnées

Au final , ton segment joignant deux points distincts de A est une ligne brisée formée de bouts parallèles aux axes et qui se raccordent bien ....
C'est exactement ce que j'ai fait  sans utiliser les suites dans le Topic :

https://mathsmaroc.jeun.fr/t20668-sur-un-exo-de-connexite-d-acab8#172756

Amicalement . Lhassane

PS : Ta deuxième méthode fait plus Topologie Générale ....
Bien des résultats que j' ai oubliés ... Cela fait comme même
Neuf Ans que j'ai pris le DV .....