Mars 2016

Le premier joueur lance une pièce de monnaie 1001 fois, et le deuxième joueur 1000 fois. Quelle est la probabilité que le premier joueur obtienne pile plus souvent que le deuxième?

Indication: soient X et Y les variables aléatoires qui représentent le nombre de piles réalisés par le joueur A et B respectivement. La probabilité à calculer est P(X>Y)=sum_{k=0}^{1000}P(X>Y|Y=k)P(Y=k).
En outre, on a P(X>Y|Y=k)=sum_{j=k+1}^{1001}P(X=j|Y=k) et P(Y=k)=C(k,1000)/2^1000
Je vous laisse calculer les P(X=j|Y=k) et la somme finale. ( rq: X et Y sont indépendantes)

On peut généraliser avec:
Le premier joueur lance une pièce de monnaie n+1 fois, et le deuxième joueur n fois.
Soient X et Y les variables aléatoires qui représentent le nombre de piles réalisés par les joueurs A et B respectivement.

Des indications:
Quelle est la loi de n-Y ?
Quelle est la loi de Z=X+n-Y ?
Exprimer P(X>Y) avec Z et c'est terminé!

n-Y suit la loi binomiale de paramètre n 0.5
Z suit la loi binomiale de paramètre 2n+1 0,5 (car X et n-Y sont indépondantes)
P(X>Y)=p(Z>n)