Bonjour ;
Exercice n° 1 .
x³ + y³ + 3x²y² = x³y³ ==> 1/x³ + 1/y³ + 3/(xy) = 1
==> u³ + v³ + 3uv = 1 avec u = 1/x et v = 1/y
==> (u + v)³ - 3uv(u + v) + 3uv = 1
==> s³ - 3ps + 3p = 1 avec s = u + v et p = uv
==> s³ - 1 - 3p(s - 1) = 0
==> (s - 1)(s² + s + 1) - 3p(s - 1) = 0
==> (s - 1)(s² + s + 1 - 3p) = 0
==> s - 1 = 0 ou s² + s + 1 - 3p = 0 .
L'équation s - 1 = 0 donne comme résultat s = 1 . Il reste à étudier s² + s + 1 - 3p = 0 .
s² + s + 1 - 3p = 0 ==> (u + v)² + u + v + 1 - 3uv = 0
==> u² + v² + 2uv + uv + u + v - 3uv + 1 = 0
==> u² + v² + u + v - uv + 1 = 0
==> u² + (1 - v)u + v² + v + 1 = 0 (équation en u)
==> Delta = (1 - v)² - 4(v² + v + 1) = 1 + v² - 2v - 4v² - 4v - 4
= - 3v² - 6v - 3 = - 3(v² + 2v + 1) = - 3(v + 1)² .
L'équation en u obtenue n'admet de solution que si on a Delta = 0 ; donc si v = - 1 ;
donc l'équation devient : u² + 2u + 1 = 0 <==> (u + 1)² = 0 <==> u = - 1 .
On a comme autre solution : s = u + v = - 1 - 1 = - 2 .
Conclusion : l'ensemble des solutions est {- 2 ; 1} .
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