lim u_n = infini

Une suite entière positive est à termes deux à deux distincts. Montrer que la suite tend vers l'infini.

Soit A >max(0,u_0) et H l ensemble des entiers naturels k tel que por tout j entre 0 et k on a:
u_j =< A. on a : o est dans H.
et puisque la suite (u_n) est à termes deux àdeux distincts d entiers alors H est une partit non vide majorée d'entiers alors H admet un plus grand élément n_0
Alors pour tout n>n_0 on a : u_n >A donc $ lim u_n = +\infty$

aissa a écrit:

Soit A >max(0,u_0) et  H l'ensemble des entiers naturels k tel que pour tout j entre 0 et k on a:
u_j =< A.  

H={k entier naturel|pour tout n entier naturel =< k, u_n=<A}

Citation :

on a : 0 est dans H.
et puisque la suite (u_n) est à termes deux à deux distincts d'entiers alors  H est une partie non vide majorée d'entiers alors H admet un plus grand élément n_0

H est en ensemble fini d'entiers naturels successifs dont le nombre d'éléments est inférieur à A; sup H =<A

Citation :

Alors pour tout n>n_0  on a : u_n >A  donc $ lim u_n = +\infty$

u_{n_0+1} >A. Toutefois pour les termes d'indice supérieur, par exemple u_{n_0+2}, ce n'est probablement pas le cas! Mais peut-on trouver plus qu'un nombre A d'indices de termes qui sont inférieurs à A? Si la réponse est non, alors on collecte tous ces termes inférieurs à A dont le nombre aussi est inférieur à A en augmentant l'indice autant qu'il faut, pour arriver à un seuil tel que n'importe quel terme d'indice supérieur est supérieur à A

Notons (ak) une telle suite et donnons nous un réel strictement positif arbitraire A

il est clair que le segment [0,A] contient un nombre fini d'entiers (égal à la partie entière de A)

les termes de la suite (ak) étant deux à deux distincts, l'ensemble des k tels que [0,A] contient ak est fini

et ainsi l'intervalle ]A,+oo[ contient tous les termes de la suite (ak) sauf un nombre fini.