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 fct polynome

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selfrespect
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MessageSujet: fct polynome   fct polynome EmptyVen 02 Fév 2007, 15:18

salut
soit f un polynome a coeficients dans Z
fct polynome Acab70f59f8d5b935344bd5eb05399a1
supposons exister quatre entiers distincts a,b,c,d verifiants
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5
montrer que qqsoit k de Z f(k)#8
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Sinchy
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyVen 02 Fév 2007, 18:23

relis la question
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selfrespect
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyDim 04 Fév 2007, 16:18

selfrespect a écrit:
salut
soit f un polynome a coeficients dans Z
fct polynome Acab70f59f8d5b935344bd5eb05399a1
supposons exister quatre entiers distincts a,b,c,d verifiants
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5
montrer que qqsoit k de Z f(k)#8
saluit
il existe un polynome a coeficients dans Z
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3
3 a quatre diviseurs -1.1.3.-3
alors deux parmi (k-a) .(k-b) .(k-c) .(k-d) .Q(k) sont egaux
si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon . la je suis bloké
j veux juste une indication .merci
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Oumzil
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Oumzil

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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyDim 04 Fév 2007, 21:00

selfrespect a écrit:
saluit
il existe un polynome a coeficients dans Z
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3
3 a quatre diviseurs -1.1.3.-3
alors deux parmi (k-a) .(k-b) .(k-c) .(k-d) .Q(k) sont egaux
si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon . la je suis bloké
j veux juste une indication .merci

soit n de IN tel que n > 4

si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon :
Q(k) = k- y avec y de {a,b,c,d}
donc : deg Q = 1
donc : deg f = 4
or : deg f = n > 4 ===> absurde !!

pour n =0 :
f(x)= a0 ==> f(k)=f(a)
==> 8=5 absurde !

pour n = 1 :
f(x) = a1*x + a0 ==> a1*a+a0 = a1*b+a0 = a1*c+a0 = a1*d+a0 = 5
==> a1*a=a1*b=a1*c=a1*d
===> a=b=c=d ce qui est absure puisque a , b ,c ,d sont differents

pour n=2 :
....

il est facile de montrer pour les cas inferieurs à 4 que f(a)=f(b)=f(c)=f(d)
est impossible , et puisque f(k)=4 est impossible pour n >4 alors il est impossible pour tout n de IN

PS: chapeau pour le choix du nouveau avatar Wink
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selfrespect
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyDim 04 Fév 2007, 23:49

Oumzil a écrit:
selfrespect a écrit:
saluit
il existe un polynome a coeficients dans Z
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3
3 a quatre diviseurs -1.1.3.-3
alors deux parmi (k-a) .(k-b) .(k-c) .(k-d) .Q(k) sont egaux
si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon . la je suis bloké
j veux juste une indication .merci

soit n de IN tel que n > 4

si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon :
Q(k) = k- y avec y de {a,b,c,d}
donc : deg Q = 1
donc : deg f = 4
or : deg f = n > 4 ===> absurde !!

pour n =0 :
f(x)= a0 ==> f(k)=f(a)
==> 8=5 absurde !

pour n = 1 :
f(x) = a1*x + a0 ==> a1*a+a0 = a1*b+a0 = a1*c+a0 = a1*d+a0 = 5
==> a1*a=a1*b=a1*c=a1*d
===> a=b=c=d ce qui est absure puisque a , b ,c ,d sont differents

pour n=2 :
....

il est facile de montrer pour les cas inferieurs à 4 que f(a)=f(b)=f(c)=f(d)
est impossible , et puisque f(k)=4 est impossible pour n >4 alors il est impossible pour tout n de IN

PS: chapeau pour le choix du nouveau avatar Wink
salut oumzil et (b1venu lol! )
c est vraiment une bonne ideé den servir de Deg de Q
MAIS IL YA UNE PETITE CHOSE QUI CLOCHE
je crosn que Q(k)=y-k =/==> Deg (Q)=1
car K ce nest un qqq entier de N c est juste un entier qu on suppose exister et verifiant (E)
example : Q(x)=x²-2x+1
Q(3)=4=1+3 ==/=> le degre de Q est 1 !!
et merci .lol!
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Oumzil
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyLun 05 Fév 2007, 12:45

selfrespect a écrit:
salut oumzil et (b1venu lol! )
c est vraiment une bonne ideé den servir de Deg de Q
MAIS IL YA UNE PETITE CHOSE QUI CLOCHE
je crosn que Q(k)=y-k =/==> Deg (Q)=1
car K ce nest un qqq entier de N c est juste un entier qu on suppose exister et verifiant (E)
example : Q(x)=x²-2x+1
Q(3)=4=1+3 ==/=> le degre de Q est 1 !!
et merci .lol!


selfrespect a écrit:

Q(3)=4=1+3 ==/=> le degre de Q est 1 !!
salut l'ami Wink
bonne idée de chercher un contre exemple mais en effet cet exemple est une reformutation de l'image de la fonction et en plus d'un nombre connu , or K est un inconnu et j'ai bien prouvé que Q(K) = k-y avec y connu . lol!
en tout cas on peut toujours attendre les autres membres Wink
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selfrespect
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyJeu 15 Fév 2007, 00:55

[quote="Oumzil"]
selfrespect a écrit:
salut oumzil et (b1venu lol! )
c est vraiment une bonne ideé den servir de Deg de Q

tout cas on peut toujours attendre les autres membres Wink
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyJeu 15 Fév 2007, 09:16

il existe un polynome Q à coefficients dans Z tel que :
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
S'il existe un k dans Z tel que :
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3.
Comme a,b,c,d sont distincts 2 à 2 alors Q(k)€{k-a,k-b,k-c,k-d}
La symétrie des rôles permet de supposer que Q(k)=k-d
==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)²=3 ==> (k-d)²=1 et (k-a)(k-b)(k-c)=3
Ou encore ( symétrie des rôles ) k-a=1 , k-b=-1 et k-c=-3
==> k-d=k-a ou k-d=k-b absurde

_________________
وقل ربي زد ني علما
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyJeu 15 Fév 2007, 12:03

abdelbaki.attioui a écrit:
il existe un polynome Q à coefficients dans Z tel que :
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
S'il existe un k dans Z tel que :
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3.
Comme a,b,c,d sont distincts 2 à 2 alors Q(k)€{k-a,k-b,k-c,k-d}
La symétrie des rôles permet de supposer que Q(k)=k-d
==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)²=3 ==> (k-d)²=1 et (k-a)(k-b)(k-c)=3
Ou encore ( symétrie des rôles ) k-a=1 , k-b=-1 et k-c=-3
==> k-d=k-a ou k-d=k-b absurde
merci bien Mr abdelbaki.attioui cheers
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Sinchy
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyVen 16 Fév 2007, 13:14

slt a tout le monde
je pense que c'est un olympiade de Canada Very Happy
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Oumzil
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MessageSujet: Re: fct polynome   fct polynome EmptyDim 18 Fév 2007, 15:41

cheers bravo monsieur abdelbaki
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