fct polynome

salut
soit f un polynome a coeficients dans Z

supposons exister quatre entiers distincts a,b,c,d verifiants
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5
montrer que qqsoit k de Z f(k)#8

relis la question

selfrespect a écrit:

salut
soit f un polynome a coeficients dans Z

supposons exister quatre entiers distincts a,b,c,d verifiants
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5
montrer que qqsoit k de Z f(k)#8

saluit
il existe un polynome a coeficients dans Z
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3
3 a quatre diviseurs -1.1.3.-3
alors deux parmi (k-a) .(k-b) .(k-c) .(k-d) .Q(k) sont egaux
si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon . la je suis bloké
j veux juste une indication .merci

selfrespect a écrit:

saluit
il existe un polynome a coeficients dans Z
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3
3 a quatre diviseurs -1.1.3.-3
alors deux parmi (k-a) .(k-b) .(k-c) .(k-d) .Q(k) sont egaux
si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon . la je suis bloké
j veux juste une indication .merci

soit n de IN tel que n > 4

si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon : Q(k) = k- y avec y de {a,b,c,d}
donc : deg Q = 1
donc : deg f = 4
or : deg f = n > 4 ===> absurde !!

pour n =0 :
f(x)= a0 ==> f(k)=f(a)
==> 8=5 absurde !

pour n = 1 :
f(x) = a1*x + a0 ==> a1*a+a0 = a1*b+a0 = a1*c+a0 = a1*d+a0 = 5
==> a1*a=a1*b=a1*c=a1*d
===> a=b=c=d ce qui est absure puisque a , b ,c ,d sont differents

pour n=2 :
....

il est facile de montrer pour les cas inferieurs à 4 que f(a)=f(b)=f(c)=f(d)
est impossible , et puisque f(k)=4 est impossible pour n >4 alors il est impossible pour tout n de IN

PS: chapeau pour le choix du nouveau avatar

Oumzil a écrit:

selfrespect a écrit:

saluit
il existe un polynome a coeficients dans Z
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3
3 a quatre diviseurs -1.1.3.-3
alors deux parmi (k-a) .(k-b) .(k-c) .(k-d) .Q(k) sont egaux
si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon . la je suis bloké
j veux juste une indication .merci

soit n de IN tel que n > 4

si c etit parmi les 4premiers => contradeiction a b c d distinct
sinon : Q(k) = k- y avec y de {a,b,c,d}
donc : deg Q = 1
donc : deg f = 4
or : deg f = n > 4 ===> absurde !!

pour n =0 :
f(x)= a0 ==> f(k)=f(a)
==> 8=5 absurde !

pour n = 1 :
f(x) = a1*x + a0 ==> a1*a+a0 = a1*b+a0 = a1*c+a0 = a1*d+a0 = 5
==> a1*a=a1*b=a1*c=a1*d
===> a=b=c=d ce qui est absure puisque a , b ,c ,d sont differents

pour n=2 :
....

il est facile de montrer pour les cas inferieurs à 4 que f(a)=f(b)=f(c)=f(d)
est impossible , et puisque f(k)=4 est impossible pour n >4 alors il est impossible pour tout n de IN

PS: chapeau pour le choix du nouveau avatar

salut oumzil et (b1venu )
c est vraiment une bonne ideé den servir de Deg de Q
MAIS IL YA UNE PETITE CHOSE QUI CLOCHE
je crosn que Q(k)=y-k =/==> Deg (Q)=1
car K ce nest un qqq entier de N c est juste un entier qu on suppose exister et verifiant (E)
example : Q(x)=x²-2x+1
Q(3)=4=1+3 ==/=> le degre de Q est 1 !!
et merci .

selfrespect a écrit:

salut oumzil et (b1venu )
c est vraiment une bonne ideé den servir de Deg de Q
MAIS IL YA UNE PETITE CHOSE QUI CLOCHE
je crosn que Q(k)=y-k =/==> Deg (Q)=1
car K ce nest un qqq entier de N c est juste un entier qu on suppose exister et verifiant (E)
example : Q(x)=x²-2x+1
Q(3)=4=1+3 ==/=> le degre de Q est 1 !!
et merci .

selfrespect a écrit:

Q(3)=4=1+3 ==/=> le degre de Q est 1 !!

salut l'ami
bonne idée de chercher un contre exemple mais en effet cet exemple est une reformutation de l'image de la fonction et en plus d'un nombre connu , or K est un inconnu et j'ai bien prouvé que Q(K) = k-y avec y connu .
en tout cas on peut toujours attendre les autres membres

[quote="Oumzil"]

selfrespect a écrit:

salut oumzil et (b1venu )
c est vraiment une bonne ideé den servir de Deg de Q

tout cas on peut toujours attendre les autres membres

il existe un polynome Q à coefficients dans Z tel que :
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
S'il existe un k dans Z tel que :
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3.
Comme a,b,c,d sont distincts 2 à 2 alors Q(k)€{k-a,k-b,k-c,k-d}
La symétrie des rôles permet de supposer que Q(k)=k-d
==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)²=3 ==> (k-d)²=1 et (k-a)(k-b)(k-c)=3
Ou encore ( symétrie des rôles ) k-a=1 , k-b=-1 et k-c=-3
==> k-d=k-a ou k-d=k-b absurde

abdelbaki.attioui a écrit:

il existe un polynome Q à coefficients dans Z tel que :
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5
S'il existe un k dans Z tel que :
f(k)=8 ==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3.
Comme a,b,c,d sont distincts 2 à 2 alors Q(k)€{k-a,k-b,k-c,k-d}
La symétrie des rôles permet de supposer que Q(k)=k-d
==> (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)²=3 ==> (k-d)²=1 et (k-a)(k-b)(k-c)=3
Ou encore ( symétrie des rôles ) k-a=1 , k-b=-1 et k-c=-3
==> k-d=k-a ou k-d=k-b absurde

merci bien Mr abdelbaki.attioui

slt a tout le monde
je pense que c'est un olympiade de Canada

bravo monsieur abdelbaki