voila ma solution:
les plus petits 10 nombres successives de N sont:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}={1,2,3,2²,5,2*3,7,2^3,3²,2*5}
si ces 10 nombres sont des diviseurs de n alors il accepte la division sur 2, 3 , 5 et 7.
donc n=(2^a)*(3^b)*(5^c)*(7^d)
tel que a>=3 et b>=2 et c>=1 et d>=1
considérons un nombre A de N tel que A=(x^a)*(y^b)*(z^c)*(t^d).
le nombre S des diviseurs de A est:
S=a+b+c+d+ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd+abcd+1.
S=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1). (vous pouvez le vérifier)
donc pour le nombre n on a (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=144
tel que a>=3 et b>=2 et c>=1 et d>=1
caculons le nombre S des divsieurs de n pour a=3 et b=2 et c=1 et d=1
S=(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)=4*3*2*2=48.
donc n n'égale pas (2^3)*(3^2)*5*7.
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=144 et on sait que 144=(2^4)*(3^2).
donc (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(2^4)*(3^2).
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(4*3*2*2)*3.
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=12*3*2*2=4*9*2*2=4*3*6*3=4*3*2*6.
1) on a (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=12*3*2*2.
si a+1= 12 et b+1=3 et c+1=2 et d+1=2
a=11 et b=2 et c=1 et d=1
donc n1=(2^11)*(3^2)*5*7.
n1=645120.
2) on a (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=4*9*2*2.
si a+1= 4 et b+1=9 et c+1=2 et d+1=2
a=3 et b=8 et c=1 et d=1
donc n2=(2^3)*(3^
*5*7.
n2=1837080.
3) on a (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=4*3*6*2.
si a+1= 4 et b+1=3 et c+1=6 et d+1=2
a=3 et b=2 et c=5 et d=1
donc n3=(2^3)*(3^2)*(5^5)*7.
n3=1575000.
4) on a (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=4*3*2*6.
si a+1= 4 et b+1=3 et c+1=2 et d+1=6
a=3 et b=2 et c=1 et d=5
donc n4=(2^3)*(3^2)*5*(7^5).
n4=6050520.
on sait que (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(4*3*2*2)*3=(3*3*2*2*)*4=(4*3*3*2)*2=(4*3*2*3)*2
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(3*3*2*2*)*4
5) (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=12*3*2*2.
n5=n1=645120.
6) (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=3*12*2*2
si a+1=3 et b+1=12 et c+1=2 et d+1=2
a=2 et b=11 et c=1 et d=1 et cela est impossible car a>=3
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(4*3*3*2)*2
de la meme façon on termine et on trouve le plus petit nombre n ayant 144 diviseurs dont 10 sont succesifs si a=7 et b=2 et c=2 et d=1
n=(2^7)*(3^2)*(5^2)*7.
n=201600
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