inégalité

Hmm,, j'ai trouvé une preuve très laide.. elle ne mérite pas d'être montrée.
C'est avec des dérivées.

Peux-tu me dire ta preuve?
Ou si quelqu'un d'autre a une jolie preuve.. je suis preneur.

Bonsoir;
Il n'y'aurait pas une erreur de frappe par hasard ?
et a ,b et c ne seraient ils pas strictement positifs ?

Oui, c'est bien ça : a, b, c > 0.

Mais en fait, j'imagine que cette confusion vient du fait qu'en anglais, le terme "positive", veut dire "strictement positif", et ils utilisent "non-negative" pour "positif ou nul".

Bonjour mathman et samir;
En plus de la stricte positivité de a , b et c je voulais m'assurer s'il s'agit de a²+ab+a² ou a²+ab+b²

Bonjour Elhor_Abdelali,

oui, c'est bien a²+ab+b².

utilser la fonction convexe sur ]0,+00[ : x---> 1/sqrt(x)

Yep, c'est convexe.
Mais je ne pense pas que cela donne une preuve (plus simple).

Ou peut-être..
Donc tu dis que \sum (a^2+b^2+ab) atteint son maximum quand a=b=\frac 12, c=0?
Je pense que ceci n'est pas vrai.

Bonjour,

Je pense que l'inégalité est stricte. Voilà une démonstration un peu laborieuse :
Fixons c (dans ]0,1[) et considérons a comme une variable x dans ]0,1-c[, avec b = 1 - c - x.

Les trois expressions sous radicaux deviennent :
a^2 + ab + b^2 = (x -(1-c)/2)^2 + 3(1-c)^2/4
b^2 + bc + c^2 = (x +(c-2)/2)^2 + 3c^2/4
a^2 + ac + c^2 = (x + c/2)^2 + 3c^2/4

1/sqrt(x^2 + p^2) est une fonction concave et nous avons donc une somme h(x) de trois fonctions concaves, donc concave.
Sur [0,1-c], son minimum est donc en 0 ou en (1-c) et il ne peut être atteint puisque x ne peut prendre les valeurs 0 ou (1-c).

Or, h(0) = h(1-c) = 1/(c(1-c)) + 1/sqrt(1 - c(1-c)) = g(c(1-c) avec g(x) = 1/x + 1/sqrt(1-x).

c(1-c) peut varier de 0 à 1/4

g'(x) = -1/x^2 + 1/(2(1-x)^(3/2)) est clairement une fonction croissanre sur ]0, 1[
g'(1/4) = -16 + 4/(3 sqrt(3)) < 0
Donc g'(x) < 0 pour tout x dans ]0,1/4] ==> g est décroissante sur ]0,1/4] et son minimum est pour x = 1/4

g(1/4) = 4 + 2/sqrt(3) = 2(6 + sqrt(3))/3

Donc h(x) > 2(6 + sqrt(3))/3
CQFD

Cette valeur ne peut être atteinte (inégalité stricte) mais on s'en approche lorsque, par exemple :
a --> 0
b --> 1/2
c --> 1/2

--
Patrick

pco a écrit:

Bonjour,

Je pense que l'inégalité est stricte. Voilà une démonstration un peu laborieuse :
Fixons c (dans ]0,1[) et considérons a comme une variable x dans ]0,1-c[, avec b = 1 - c - x.

Les trois expressions sous radicaux deviennent :
a^2 + ab + b^2 = (x -(1-c)/2)^2 + 3(1-c)^2/4
b^2 + bc + c^2 = (x +(c-2)/2)^2 + 3c^2/4
a^2 + ac + c^2 = (x + c/2)^2 + 3c^2/4

1/sqrt(x^2 + p^2) est une fonction concave et nous avons donc une somme h(x) de trois fonctions concaves, donc concave.

...

--
Patrick

Pourquoi est-ce que les fonctions sont concaves?

Euhhhh ...

Après réflexion, elles sont concaves ... parce que cela m'arrangerait bien

Désolé, elles n'ont effectivement pas de raison d'être concaves. C'est une erreur de calcul de ma part sur la dérivée seconde.

retour au départ.

--
Patrick

j'ai pas trouvé grand chose
mais en utilisant utilisant un triangle avec une angle 60)
j'ai trouvé que rac(a²+b²+rac(ab))+rac(b²+c²+rac(bc))+rac(a²+c²+rac(ac))>=rac(3)

Oui, j'imagine que cette inégalité a été créée à partir d'un truc géométrique, et il doit donc y avoir une jolie preuve géométrique, mais je ne la trouve pas..
Plus précisément, je pense que ceci a été créé à partir du point de Toricelli.

Bonjour;
Notons S la somme à minimiser et considérons dans le plan complexe les points O(0) , A(1) et B(-j)
où j = -1/2 + i racine(3)/2
Notons également T l'enveloppe convexe des points O, A et B (triangle équilatéral plein) ,
z=a-bj , z'=b-cj , z''=c-aj , M(z) , M'(z') et M''(z'')
Il est alors facile de vérifier que M , M' et M'' sont des points de T
et que S = 1/|z| + 1/|z'| + 1/|z''| = 1/OM + 1/OM' + 1/OM''
D'autre part les relations z+jz'+j²z''=0 et z+z'+z''=1-j montrent que
le triangle MM'M'' est équilatéral ayant pour centre de gravité G((1-j)/3)
qui est aussi celui du triangle équilatéral OAB
En utililisant la rotation r de centre G et d'angle 2Pi/3
et en réarangeant les points M , M' et M'' de telle sorte qu'on ait
M'=r(M) et M''=r²(M) on vérifie facilement que OM'=AM et OM''=BM
et on voit que le problème revient à minimiser la somme S(M) = 1/MO + 1/MA + 1/MB quand M décrit T
Ainsi il reste à montrer que S(M) est minimum lorsque M est milieu de l'un des cotés du triangle équilatéral OAB
ce qui donnera l'inégalité souhaitée

Bonjour,

a,b,c>0  ;  a+b+c=1 montrer que 1/racine(a²+ab+b²)+1/racine(b²+bc+c²)+1/racine(c²+ca+a²) > 4+2/racine(3)

je remonte ce vieux topic toujours en quête d'une solution

elhor_abdelali a écrit:

[...] minimiser la somme S(M) = 1/MO + 1/MA + 1/MB   quand M décrit T [triangle plein OAB...]

La différentielle pour calculer les variations de S rn fonction de la position de M, 
DS /DM =D{1 /OM} /DM +D{1 /AM} /DM +D{1 /BM} /DM, tel que
D{1 /OM} /DM=-1 /OM².D{OM} /DM=-1 /OM².[drond{OM} /drond x   drond{OM} /drond y] par exemple. Or OM=√{{vecteurOM}²}=√{x²+y²}, donc drond{OM} /drond x =2vecteur {OM}. drond{vecteur OM} /dx /{2√{{vecteurOM}²}=vecteur{OM} vecteur.base.x /OM. Par conséquent
DS /DM=[-(1 /OM³ vecteur{OM} +1 /AM³ vecteur{AM} +1 /BM³ vecteur{BM})vecteur.base.x   --(1 /OM³ vecteur{OM} +1 /AM³ vecteur{AM} +1 /BM³ vecteur{BM})vecteur.base.y], elle vaut zéro aux points M tel que S est minimum, ou atteint un maximum local car elle tend vers l'infini lorsque M s'approche de O, A ou B. Une autre paire de manches...

D{S} /D{vecteurOM} = -1 /{OM^3} vecteurOM -1 /{AM^3} vecteurAM -1 /{BM^3} vecteurBM, tel que vecteurOM = a vecteurOA +b vecteurOB et les nombres réels a, b et 1-(a+b) sont dans [0,1[..

Pour tous nombres positifs b et c

De même que les deux autres inégalités par rotation de a, b et c. Or par l'inégalité harmonico-arithmétique
1 /(b+c) +1 /(c+a) +1 /(a+b) >= 9 /2 /(a+b+c). Mais est-ce que 
bc /(b+c)^3 + ca /(c+a)^3 +ab /(a+b)^3 > 4√3 /3 -1
si a +b +c =1 ? : ) ?