equation fonctionelle avec deux réelles

soit f une fonction continue sur R tel que ils existent deux nombres a et b appartient à l'intervalle[0,1/2] satisfaisant :
f(f(x))=af(x)+bx pour tout x de R
Trouver f(x)

Bonjour,
f(x)=µx

j'aime voir la methode

Bonjour, on suppose 0 < a , b < 1/2. Il est facile de montrer que f est injective alors puisqu'elle continue elle est strictement monotone. On a donc f(IR)=IR car si f est majorée ou minorée, fof l'est aussi mais fof=af+bI (I est lidentité) alors I serait majorée ou minorée absurde. Donc f est bijective . soit g son inverse.

Soient p et q les racines de t^2 = a t + b tels que p > 0 > q.
On a 0 < p < 1, 0 > q > -p.

On a alors pour tout entier n :
f^n(x) = u(x)p^n + v(x)q^n
où u(x) = (f(x) - qx)/(p - q), v(x) = (px - f(x) )/(p - q).

Si f est croissante. alors pour tout x, v(x)=0. i.e f(x)=px pour tout x.
Si f est décroissante. alors pour tout x, u(x)=0. i.e f(x)=qx pour tout x.

A+