fct "f"

salut
determiner tt les fcts f de Q dans Q definit par
i)f(1)=2
ii)f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1

Bonjour Selfrespect

P(x,y) : f(xy)=f(x)f(y) - f(x+y) + 1

P(x,1) ==> f(x+1) = f(x) + 1
Il est immédiat d'en déduire f(x+n) = f(x) + n et f(n)=n+1

Alors, P(x,n) ==> f(nx) = f(x)(n+1) - f(x+n) + 1 ==> f(nx) = nf(x) - n + 1 ==> f(nx) - 1 = n(f(x) - 1)

En appelant g(x) = f(x) - 1, on a donc :
g(n) = n
g(nx) = ng(x)
On en déduit tout de suite g(x/n) = g(x)/n et g(p/q) ) = p/q

==> g(x) = x sur Q
==> f(x) = x+1 sur Q

Et on vérifie aisément que cette condition nécessaire est aussi suffisante.

La seule solution est donc f(x) = x+1

--
Patrick

Et si l'on enlève la première condition?

Salut Mathman;

mathman a écrit:

Et si l'on enlève la première condition?

Bonne question :

Supposons :
f(1) = a
P(x,y) : f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1

P(x,1) ==> f(x+1) = (a-1)f(x) + 1

Si a = 1, ceci implique f(x) = 1 pour tout x, qui est effectivement une solution.

Supposons a différent de 1.

f(x+1) = (a-1)f(x) + 1 ==> f(0) = 1 (faire x=0) et f(2) = a(a-1)+1
On a alors :
f(x+2) = (a-1)f(x+1)+1 = (a-1)^2f(x) + a
Alors :
P(x,2) ==> f(2x) = f(x)f(2) - f(x+2) + 1 = f(x)(a(a-1)+1) - (a-1)^2f(x)-a+1 ==> f(2x) = af(x) - a + 1

f(x+2) = (a-1)^2f(x) + a ==> f(4) = (a-1)^2(a(a-1)+1) + a
f(2x) =af(x) - a + 1 ==> f(4) = a(a(a-1)+1) - (a-1)

Donc : a(a(a-1)+1) - (a-1) = (a-1)^2(a(a-1)+1) + a
Soit : a^2(a-1) - (a-1) = (a-1)^2 (a(a-1)+1)
Soit : a(a-2)(a-1)^2 = 0

Donc a ne peut valoir que 0, 1 ou 2
a = 2 ==> f(x) = x+1 (cas initial)
a = 1 ==> f(x) = 1 (voir plus haut)
a = 0 ==> f(2x) = af(x) - a + 1 = 1 ==> impossible, car contradictoire avec f(1)=0

Donc :

Sans la contrainte f(1) = 2, les deux seules solutions sont :

f(x) = 1
et
f(x) = x+1

--
Patrick

PS : j'ai résolu ton pb de gateau

Exactement!

De plus, la conclusion reste vraie si f est à valeurs dans R.