C'est assez dingue
qu'une telle série puisse exister mais en fait c'est assez intuitif
Une idée :
- on prend u_1 = 1/ln(2)
- on prend u_2 = -1/n_2, u_3= - 1/n_3 - .... - 1/n_k1 de sorte que |u_1 -1/n_2 - 1/n_3 - .... - 1/n_k1 | < 1/2
- on prend u_(k1+1) = 1/ln(3)
- on prend -1/n_(k1+2) - .... - 1/n_k2 de sorte que |u_(k1+1) - -1/n_(k1+2) ... - 1/n_k2 | < 1/2^2
On construit de proche en proche une série 1/ln(n) et assez 1/n pour repasser sous zéro de manière de plus en plus petite (en 1/2^n par exemple). La série est alors convergente mais u(n)^p est la somme d'une série absolument convergente (en 1/n^p) et d'une série positive divergente (en 1/ln(n)^p)
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