nombre de sous-groupes d'indices 2

Montrer que le nombre de sous-groupes d'indices 2 d'un groupe fini est de la forme 2^n - 1.

Considérons l'ensemble de tous les homomorphismes de notre groupe vers le groupe à 2 éléments.
L'ensemble des groupes d'indice 2, ainsi que le groupe lui-même, peut-être mis en correspondance bijective avec cet ensemble des homomorphismes.
De manière évidente : un tel groupe est le noyau d'un tel homomorphisme unique.
Cet ensemble des homomorphismes a une structure de groupe : la somme de deux homomorphismes est juste la "pointwise sum" (j'ai appris tout ceci en anglais, alors je ne connais pas les termes français - mais bon, cela veut dire que pour chaque g dans G on définit l'homomorphisme f+h par (f+h)(g)=f(g)+h(g)).
Mais chaque homomorphisme est d'ordre 2 dans ce groupe, donc le groupe que nous avons construit est d'ordre 2^n.

Et c'est fini!

On obtient 2^n parce que l'on a aussi considéré le groupe lui-même; quand on ne le compte pas et que l'on considère juste les groupes d'indice 2, on a : 2^n-1.

on considère l'ensemble A des sous-groupes d'indice 2 et de G.
Pour H;H' € A, on pose H.H' = (H n H') U (G \ (H UH'))
cela définit ( a prouver!) une loi interne sur A . De plus, G est un élément neutre pour cette loi, et H est son propre inverse :
A est donc un groupe, et même un Z/2Z-espace vectoriel puisque tout élément est d'ordre 2. A est donc d'ordre 2^n, ce qui permet de conclure.